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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

3. Aufgabe 2002

gestellt am 25. Februar 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Die letzten DM-Münzen

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

4 Freundinnen saßen eines Nachmittags zusammen und entschlossen sich, ihre 4 Sparschweine zu schlachten, die ersparten DM-Münzen (1 Pfennig bis 5 Mark) in einen gemeinsamen Geldsack zu tun und auf der Bank in Euro zu wechseln. Dort erhielten sie genau einen Euro-Geldschein. Da sie sich anschließend aber nicht einig wurden, was sie mit dem Geld anfangen sollten, mussten die Euros wieder entsprechend der eingebrachten DM-Münzen aufgeteilt werden.
Jedoch wussten sie nur noch bruchstückhaft, welche Münzen aus wessen Sparschwein kamen.
Aber einige Schlauköpfe können den 4 Freundinnen sicher weiter helfen.

  1. Ein Mädchen hatte keine Münzen mit einer '1' im aufgeprägten Wert, ein anderes hatte keine Münzen mit einer '2', das dritte keine Münzen mit einer '5' und das vierte keine Münzen mit einer '0' und auch keinen Glückspfennig. Alle anderen Werte wurden in den jeweiligen Sparschweinen entdeckt.
  2. Insgesamt waren von jedem Wert mindestens 5 Münzen vorhanden.
  3. Gleichwertige Münzen gab es in einem Sparschwein höchstens 5.
  4. Die größte Anzahl an gleichen Münzen im Geldsack war 12.
  5. Unterschiedliche Werte hatten im Geldsack auch unterschiedliche Stückzahlen.
  6. Gleiche Werte hatten in den 4 Sparschweinen immer unterschiedliche Stückzahlen, sofern überhaupt vorhanden.
  7. 3 Geldstücke von einem Wert gab es nur in Ritas Sparschwein, aber dann gleich dreimal.
  8. Der kleinste und der größte Betrag eines Sparschweins ergaben zusammen mehr als 50 DM.
  9. Nur Elke hatte einen geraden Betrag.
  10. Ute hatte 9 Münzen im Sparschwein.
  11. Nur 1 Mädchen hatte die gleiche Anzahl kupfer- und messing-farbiger Münzen.
  12. Olga hatte genau so viele silberne wie kupfer- und messing-farbige Münzen zusammen.

Wie hoch waren die DM-Beträge in den Sparschweinen?
Welches Problem haben die Freundinnen jetzt bei der Aufteilung?

Hinweis: Die Lösungsweg muss ersichtlich sein.

(eingesandt von Horst Reblitz)

Lösung

Von jeder Münzsorte sind mindestens 5 Stück (Aussage 2) und höchstens 12 Stück (Aussage 4) vorhanden, wobei alle vorkommenden Anzahlen verschieden sind (Aussage 5). Weil es 8 verschiedene Münzsorten gibt (1 Pf., 2 Pf., 5 Pf., 10 Pf., 50 Pf., 1 DM, 2 DM und 5 DM), kommt jede Anzahl zwischen 5 und 12 genau einmal vor.
Der kleinste und der größte mögliche Betrag sind dann 49,74 DM (= 12*1Pf.+...+5*5DM) bzw. 97,82 DM (= 5*1Pf.+...+12*5DM).
Diese Beträge entsprechen 25,43 Euro bzw. 50,01 Euro und der einzige Betrag dazwischen, für den es einen Geldschein gibt, ist 50 Euro. In alter Währung sind dies 97,79 DM und dieser Betrag ist unter den gegebenen Bedingungen nur durch die Münzzusammenstellung wie beim größten Betrag, abzüglich einer 5-Pf.- und zuzüglich einer 2-Pf.-Münze, möglich:

Münze | 1Pf.| 2Pf.| 5Pf.|10Pf.|50Pf.| 1DM | 2DM | 5DM |Summe
------+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+--------
Anzahl|  5  |  7  |  6  |  8  |  9  | 10  | 11  | 12  |97,79 DM

Eine erste Aufstellung von Münzhäufigkeiten kann man vornehmen, wenn man beachtet, welche Münzen vorkommen und welche Münzen nicht (Aussage 1). Dabei steht das Zeichen '+' für mindestens eine Münze und höchstens 5 Münzen (Aussage 3). Die möglichen Verteilungen sind unter der Tabelle aufgeführt, wobei berücksichtigt ist, dass alle positiven Anzahlen pro Spalte verschieden sind (Aussage 6):

Münze| 1Pf.| 2Pf.| 5Pf.|10Pf.|50Pf.| 1DM | 2DM | 5DM |
-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
  1. |  0  |  +  |  +  |  0  |  +  |  0  |  +  |  +  |
  2. |  +  |  0  |  +  |  +  |  +  |  +  |  0  |  +  |
  3. |  +  |  +  |  0  |  +  |  0  |  +  |  +  |  0  |
  4. |  0  |  +  |  +  |  0  |  0  |  +  |  +  |  +  |
-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
Summe|  5  |  7  |  6  |  8  |  9  | 10  | 11  | 12  |

       1,4  1,2,4 1,2,3  3,5   4,5  1,4,5 2,4,5 3,4,5
       2,3                          2,3,5

Die Anzahl 3 kommt bei 5-Pf.- und bei 10-Pf.-Münzen vor. Nur das zweite Mädchen besaß von beiden Sorten welche, ist also Rita (Aussage 7), die dann auch 3 5-DM-Münzen hatte.
Die Mindestanzahl von Münzen beim ersten, dritten und vierten Mädchen betragen 12, 10 bzw. 9. Das vierte Mädchen ist also Ute (Aussage 10) und die Anzahlen ihrer Münzen waren die kleinsten noch möglichen. Wer die restlichen 5-Pf.-, 10-Pf.- und 5-DM-Münzen besaß, ergibt sich danach.

Münze| 1Pf.| 2Pf.| 5Pf.|10Pf.|50Pf.| 1DM | 2DM | 5DM |
-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
  1. |  0  |  +  |  2  |  0  |  +  |  0  |  +  |  5  |
Rita |  +  |  0  |  3  |  3  |  +  |  +  |  0  |  3  |
  3. |  +  |  +  |  0  |  5  |  0  |  +  |  +  |  0  |
Ute  |  0  |  1  |  1  |  0  |  0  |  1  |  2  |  4  |
-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+
Summe|  5  |  7  |  6  |  8  |  9  | 10  | 11  | 12  |

Das erste Mädchen hatte geradzahlig viele 1-Pf.- und 5-Pf.-Münzen und damit einen geraden Betrag, ist also Elke (Aussage 9). Ute hatte so viele kupfer- wie messing-farbige Münzen, aber kein anderes Mädchen (Aussage 11). Damit hatte Elke nicht 2, sondern 4 2-Pf.-Münzen. Die anderen Mädchen hatten ungerade Beträge (Aussage 9) und deshalb besaßen Rita und das dritte Mädchen Olga 4 bzw. 1 1-Pf.-Münzen.
Für Olga bleiben noch mindestens 4 1-DM- und mindestens 4 2-DM-Münzen. Weil sie genau so viele silber-farbige wie restliche Münzen hatte, waren es jeweils genau 4 Münzen dieser beiden Sorten (Aussage 12).
Von den 50-Pf.-Münzen besaßen Elke und Rita 5 bzw. 4 Stück, weil im umgekehrten Fall die Summe des kleinsten und des größten Betrags (von Olga und Elke) kleiner als 50 DM wäre (Aussage 8).

Diese Aufstellung zeigt die Anzahlen aller verschiedenen Münzen der einzelnen Mädchen sowie deren Gesamtbeträge in DM und umgerechnet in Euro:

Münze| 1Pf.| 2Pf.| 5Pf.|10Pf.|50Pf.| 1DM | 2DM | 5DM |Summe
-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+--------------------
Elke |  0  |  4  |  2  |  0  |  5  |  0  |  5  |  5  |37,68 DM  19,27 Euro
Rita |  4  |  0  |  3  |  3  |  4  |  5  |  0  |  3  |22,49 DM  11,50 Euro
Olga |  1  |  2  |  0  |  5  |  0  |  4  |  4  |  0  |12,55 DM   6,42 Euro
Ute  |  0  |  1  |  1  |  0  |  0  |  1  |  2  |  4  |25,07 DM  12,82 Euro
-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+--------------------
Summe|  5  |  7  |  6  |  8  |  9  | 10  | 11  | 12  |97,79 DM  50,01 Euro

Bei der Aufteilung ergibt sich das Problem, dass die Summe der Einzelbeträge 50,01 Euro ist, aber nur 50,00 Euro verteilt werden können.