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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

6. Aufgabe 2002

gestellt am 15. April 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Primzahlen, ein kleiner Beweis

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Die 3 ist schon eine besondere Zahl!
Zeige, dass sie die einzige Primzahl ist, die über sich eine Quadratzahl (Nachfolger) hat!

(Diesmal ist ein Beweis verlangt.)

(eingesandt von Rolf Herrmann)

Lösung

Es sei p eine Primzahl, so dass p+1 eine Quadratzahl ist. Es gibt also eine natürliche Zahl q mit
(1) q2 = p+1
Durch Umformen erhält man:
(2) p = q2-1 = (q-1)*(q+1)
Weil die Primzahl p nicht in Faktoren größer als 1 zerlegbar ist, folgt daraus, dass der kleinere Faktor q-1 = 1 ist. Damit sind q = 2 und p = 3.