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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

9. Aufgabe 2002

gestellt am 27. Mai 2002 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Kasimir am Fluss ;-)

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Unser unternehmungslustiger Kasimir kommt ans Ufer eines Flüsschens, das 10 Meter breit ist, und seine Fühler wittern, dass da drüben nicht nur eine Wiese voll Blumen mit köstlichem Nektar ist, sondern auch eine Horde Weibchen.
Natürlich will er sofort hinüber. Aber wie?
Schwimmen kann er nicht. Und wenn er könnte, würde da immer noch im Wasser die Forelle lauern.
Bleibt also nur Fliegen.
Doch da er es nur halbherzig gelernt hat, sind seine Künste noch besch...eiden.

Zu seinem Glück steht einen Meter vom Ufer entfernt eine Säule mit 80cm Umfang, von der aus er starten kann.

Die Anfangsgeschwindigkeit durch das Abstoßen wollen wir in der Berechnung vernachlässigen, also mit 0 ansetzen.
Und natürlich sind auch beide Ufer gleich hoch, und so hoch, dass ihn die Forelle nicht erwischt, wenn er genau auf dem Ufer landet.

Fragen:

  1. Wie lange braucht Kasimir vom Abmarsch am diesseitigen Ufer bis zur Landung auf der anderen Seite des Flusses?
  2. Wie hoch muss er auf die Säule klettern?
    Da die Weibchen locken, will er natürlich möglichst schnell sein.
  3. Kann er es schneller schaffen? Wenn ja:
  4. Auf welche Weise?
  5. Wie lange braucht er dann?
  6. Wie hoch muss er dann auf die Säule klettern?

(Da die Strategien zu 4. je nach Ansatz etwas variieren können, gelten zu 4-6 alle Lösungen als richtig, die nicht mehr als 10% länger dauern als die schnellste Lösung.)
Die Lösung muss ausreichend begründet werden.

(eingesandt von Peter Becker)

Lösung

Es seien f = 10m die Breite des Flusses, d = 1m die Entfernung der Säule vom Ufer, u = 80cm der Umfang der Säule, h = 60cm Kasimirs Höhengewinn bei einer Umrundung, v = 10cm/min seine Lauf- und Klettergeschwindigkeit und vs = 1m/min seine Sinkgeschwindigkeit sowie as = 1m/min2 seine Beschleunigung beim Segeln.

Kasimirs Weg zur anderen Seite des Flusses setzt sich zusammen aus seinem Weg vom Ufer zur Säule, einer noch unbekannten Anzahl n von Umrundungen der Säule und seinem Segelflug.
Hierfür benötigt er die folgende Zeit:
(1) t1 = d/v + n*√(u2+h2)/v + ts
wobei sich ts aus der Höhe h1 = n*h ergibt:
(2) ts = h1/vs = n*h/vs
und die folgende Bedingung erfüllt:
(3) f+d ≤ ∫((as*t)dt; t=0..ts) = as*ts2/2 = as*(n*h/vs)2/2
Die Umrundungszahl lässt sich dann abschätzen:
(4) n ≥ √(2(f+d)/as)*vs/h = √(22m/(1m/min2))*(1m/min)/0,6m = √22/0,6 ≈ 7,82

  1. Kasimir muss also 8 Umrundungen um die Säule machen und erreicht dabei eine Höhe von
    (5) h1 = 8*0,6m = 4,8m
  1. Bis er auf der anderen Seite des Flusses ist, vergeht eine Zeit von
    (6) t1 = 1m/(0,1m/min) + 8√(0,8m2+0,6m2)/(0,1m/min) + 4,8m/(1m/min) = 10min + 80min + 4,8min = 94,8min
  1. Kasimir kann es schneller schaffen, indem er während seines Fluges zeitweise flattert. Während dieser Phasen bewegt er sich vorwärts ohne Höhe zu verlieren. Weil er so eine weitere Strecke zurück legen kann, reicht es, wenn er aus einer niedrigeren Höhe startet, um die vorgegebene Strecke zu überwinden. Er gewinnt viel Zeit dadurch, dass er weniger hoch auf die Säule klettern muss, während er nur wenig länger in der Luft ist.

  2. Kasimir kann ans andere Ufer gelangen, indem er mit 6 Umrundungen um die Säule auf 3,6 Meter Höhe klettert und folgenden Flugplan befolgt:

    AktionHöheStreckeZeitGeschwindigkeit
    starten 3.6m0m0min0m/min
    2min segeln 1.6m2m2min2m/min
    0.76min flattern 1.6m3.52m2.76min2m/min
    1min segeln 0.6m6.02m3.76min3m/min
    1min flattern 0.6m9.02m4.76min3m/min
    0.6min segeln 0m11m5.36min3.6m/min

  3. Er braucht dann insgesamt 75,36 Minuten für seinen gesamten Weg.

  4. Er muss 3,6 Meter hoch auf die Säule klettern.