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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

10. Aufgabe 2003

gestellt am 26. Mai 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Urnen leeren

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Aufgabe

Jemand hat 2 Urnen mit je 20 Kugeln darin, außerdem hat er eine faire Münze. (Fair bedeutet, dass beim Werfen der Münze diese mit gleicher Wahrscheinlichkeit Kopf (K) bzw. Zahl (Z) zeigt.)

Er beschriftet die Urnen mit K bzw. Z.

Dann wirft er die Münze wiederholt. Zeigt sie K, so entnimmt er der Urne K eine Kugel, zeigt sie Z, so entnimmt er der Urne Z eine Kugel.

Wenn die eine der beiden Urnen leer ist, ist natürlich in der anderen noch mindestens eine Kugel enthalten.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fehlen dann in der anderen Urne erst 15 Kugeln?

(eingesandt von Johann Moll)

Lösung

Beide Urnen enthalten zu Beginn 20 Kugeln. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Ereignisses, dass nach mehrmaligem Ziehen von Kugeln aus der ersten der beiden Urnen genau n = 19 Kugel und aus der zweiten genau m = 15 Kugeln fehlen und außerdem die nächste Kugel aus der ersten Urne gezogen wird, oder umgekehrt.
Wenn man als Ziel formuliert, aus einer der Urnen die 20. Kugel zu ziehen, kann man auch annehmen, dass beide Urnen anfangs mehr als 20 Kugeln enthalten, z.B. so viele, dass es bei beliebigem Verlauf immer möglich ist, n+m = 34 Kugeln zu ziehen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass nach 34-maligem Ziehen einer Kugel aus den Urnen (mit Wahrscheinlichlkeit von jeweils 1/2) das Verhältnis der Herkunft der Kugeln 19:15 beträgt, ergibt sich aus dem Pascalschen Dreieck.
Durch Betrachten der Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen einer weiteren (der letzten) Kugel, ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit:
(1) p = (n+m)!/(n!*m!)/2n+m*1/2*2 = (n+m)!/(n!*m!)/2n+m = 34!/(19!*15!)/234 ≈ 0,108

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Entnehmen der letzten (20.) Kugel aus einer Urne in der anderen Urne genau 15 Kugeln fehlen, beträgt ungefähr 10,8%.