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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

11. Aufgabe 2003

gestellt am 16. Juni 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Wie viele Schafe sind in der Herde?

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Aufgabe

Ein Junge fragt einen Schäfer, der seine Schafe bewacht "Weißt du, wie viele Schafe in deiner Herde sind?". Der Schäfer schüttelt den Kopf.
"Mehr als fünfhundert?" - Wieder verneint der Schäfer.
"Weniger - Nachts sind sie im sicheren Pferch. Wenn ich sie am Morgen paarweise heraus lasse, bleibt eins zurück. Seit ein paar Tagen erhöhe ich die Anzahl täglich um eins, das heißt, ich lasse sie immer zu dritt, zu viert oder in Gruppen zu 5 und so weiter heraus, aber es bleibt auch stets eins zurück. Heute aber wählte ich eine Zahl für die Gruppen und siehe da - es blieb keines allein im Pferch. -
So, nun kannst du ausrechnen, wie groß die Herde ist."

(eingesandt von Josef Eberhardt)

Lösung

Gesucht ist die Anzahl n<500 der Schafe, die die Bedingung erfüllt, dass es eine Zahl k>5 gibt, sodass n durch k teilbar ist, aber bei Division durch Zahlen von 2 bis k-1 der Rest 1 entsteht:
(1) n ≡ 0 (mod k)
(2) n ≡ 1 (mod kgV(2, 3, ..., k-1))
Die Zahl n-1 ist also ein Vielfaches von kgV(2, 3, 4, 5) = 60. Weil darin auch 6 als Teiler enthalten ist, geht die Division von n-1 durch 6 auf und n ist nicht durch 6 teilbar. Hieraus folgt, dass k mindestens 7 ist.
Das einzige Vielfache von kgV(2, 3, 4, 5, 6) = 60 unter 500, das bei Division durch 7 den Rest 6 ergibt, ist n-1 = 300 = 42*7+6.

Antwort

Die Herde besteht aus 301 Schafen.