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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

12. Aufgabe 2003

gestellt am 1. Juli 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Sommer-Mix I

  Aufgaben   Lösungen 

Aufgaben

Aufgabe 1: abcdefgh (1)

a + b = c - d = e * f = g / h

Löse obige Gleichung unter einmaliger Verwendung der Ziffern 1 bis 9. (Es gibt also keine 0 und jede Ziffer darf nur einmal vorkommen.)

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 2: abcdefgh (2)

a + b = c - d = e * f = g / h

Finde zwei weitere Lösungen für obige Gleichung unter einmaliger Verwendung von 9 verschiedenen Ziffern. (Es müssen also nur 9 der 10 Ziffern verwendet werden.)

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 3: abcdefgh (3)

a + b = c - d = e * f = g / h

Finde die eindeutige Lösung für obige Gleichung unter einmaliger Verwendung aller Ziffern von 0 bis 9.

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 4: Wer mit wem?

4 verheiratete Ehepaare besichtigen eine Wurstfabrik und jeder der acht Personen konnte sich vom vorzüglichen Geschmack der gekochten, geräucherten, gepökelten oder sonst wie verfeinerten Wurstwaren überzeugen. Am Ende gab es niemanden, der von sich behaupten konnte, er hätte keine der Wurstspezialitäten probiert.
Doch wie viele Würstchen wurden verzehrt?
Klar war, dass die Männer insgesamt 22 Würstchen aßen, wobei Herr Meier dreimal so viele Würstchen verputzte wie seine Frau. Katrin aß ein Würstchen weniger als Karin, die wiederum nur die Hälfte von Karina, Herr Maier aß doppelt so viele Würstchen wie seine Frau, eine Frau aß genauso viele Würstchen wie zwei andere Frauen, Herr Mayr und seine Frau aßen gleich viele Würstchen, während Herr Meyer sogar viermal mehr Würstchen verdrückte, als sich seine Frau einverleibte. Im Übrigen aßen 3 Personen die gleiche Anzahl an Würstchen.

Mit wem ist Katja verheiratet?

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 5: Nürburgring

Nachdem auf dem Nürburgring Ausbesserungsarbeiten am Straßenbelag vorgenommen wurden, soll ein Rennauto vorsichtig eine Testrunde mit der Geschwindigkeit 20 km/h fahren. Da während dieser Runde keine Probleme auftauchten, erhält der Fahrer die Anweisung, die nächste Runde etwas schneller zu fahren und zwar so, dass er über beide Runden zusammen durchschnittlich exakt 40 km/h gefahren ist.
Wie schnell muss das Auto fahren, um diesen Schnitt zu erreichen?

(eingesandt von Steffi Mahlberg)

Aufgabe 6: Winkel im Quader

Wuerfel In welchem Winkel stehen die beiden roten Linien zueinander, die beide Würfelseiten diagonal zerteilen?

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 7: Gefahr im Auto

1. Du sitzt am Steuer eines Autos und hältst eine konstante Geschwindigkeit.
2. Auf Deiner linken Seite befindet sich ein Abhang.
3. Auf Deiner rechten Seite befindet sich ein Feuerwehrauto und fährt fast so schnell wie Du, Du kannst es aber nicht(!) überholen.
4. Vor Dir reitet ein Schwein, das eindeutig größer ist als dein Auto.
5. Dich verfolgt ein Hubschrauber auf Bodenhöhe.
6. Das Schwein und der Hubschrauber haben exakt Deine Geschwindigkeit.

Was unternimmst Du, um dieser Situation gefahrlos zu entkommen?

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 8: Ziffern-Parade

Sechs Ziffern (eine Zahl) marschierten hintereinander auf der Straße in einer Parade. Die erste Ziffer ein "Neuner" stolperte und konnte, als die anderen Ziffern zügig vorbeimarschierten, sich mit Mühe hinter der letzten Ziffer wieder anreihen. Doch jetzt bestand die Zahl nur mehr aus einem Viertel ihres ursprünglichen Wertes.

Welchen Wert hatte die ursprüngliche Zahl?

(eingesandt von purzel)

Aufgabe 9: Fußballschuhe

Christian, der zur Fußballmannschaft der Schule gehört, schafft Ordnung im Schrank für Fußballschuhe. Er weiß, dass einige Schuhe zum Schuhmacher gebracht worden sind. Er stellt fest, dass die Schuhe verschiedene Größen haben, nämlich 37, 38, 39 und 40.
6 Paare sind ordnungsgemäß zusammen gebunden, das sind Schuhe jeder Größe. Die meisten sind von der Größe 38. Von den außerdem vorhandenen 5 rechten Schuhen gibt es nur in der Größe 38 keine; die meisten sind in der Größe 39. Die meisten sind in der Größe 39. Die noch vorhandenen 8 linken Schuhe gehören zu jeder Größe, am meisten ist die Größe 40, am wenigsten die Größe 37.
a) Wie viele Schuhe von jeder Größe besitzt die Mannschaft?
b) Wie viele Schuhe in welcher Größe sind mindestens beim Schuhmacher?

(eingesandt von Sebastian Wolf)

Aufgabe 10: Römer-Einmaleins

Folgende Aufgabe ist zu ergründen.

Da sich die alten Römer aufgrund der Unkenntnis arabischer Zahlen bekanntlich mit dem Multiplizieren schwerer taten als heute nötig, entwickelten sie ein System, das es ihnen ermöglichte, alle Ergebnisse des kleinen Einmaleins auf die Multiplikationsreihen von 1 bis 5 mit anschließender Addition zu reduzieren.
Die Finger der menschlichen Hand boten sich zu folgendem System an:
Die kleinen Finger standen jeweils für die Zahl VI,
die Ringfinger standen für VII,
die Mittelfinger für VIII,
die beiden Zeigefinger für IX
und beide Daumen standen für X.

Wollte man beispielsweise eine Multiplikation ausführen, die außerhalb der 1er-, 2er-, 3er-, 4er- oder 5er-Reihe lag, beispielsweise
6 x 8 = ?
ging der Römer wie folgt vor:
Er berührte mit dem kleinen linken Finger (IV) den Mittelfinger der rechten Hand (VIII) so, dass beide Daumen nach oben zeigten und sich eine durchgehende Fingerlinie zwischen kleinem und Mittelfinger ergab.
Über dieser Linie befanden sich dann links 4 Finger und rechts noch 2 Finger. Da 2 x 4 eine Multiplikation war, die er beherrschte, konnte unser Römer bereits die letzte Ziffer des zu errechnenden Produkts ermitteln. Hatte er diese Übung absolviert, hatten bereits 6 Finger zur Rechnung beigetragen, die 4 Finger, die übrig blieben, zählte er und setzte sie vor die eben ausmultiplizierte 8 und erhielt 48.

Beweise oder zeige die Zufälligkeit jenes Rechensystem, die das kleine Einmaleins bis 100 auf nur 5 Einmaleinsreihen reduziert!

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösungen

Aufgabe 1: abcdefgh (1)

3+4 = 9-2 = 1*7 = 56/8

Aufgabe 2: abcdefgh (2)

0+6 = 7-1 = 2*3 = 54/9
0+8 = 9-1 = 2*4 = 56/7

Aufgabe 3: abcdefgh (3)

5+7 = 12-0 = 3*4 = 96/8

Aufgabe 4: Wer mit wem?

Eine Kombination von Paaren und Anzahlen verspeister Würstchen, die mit den Aussagen vereinbar ist, ist die folgende.

MannFrau
NameAnzahlNameAnzahl
Herr Meier3Katrin1
Herr Maier8Karina4
Herr Mayr3Katja3
Herr Meyer8Karin2

Insgesamt wurden 32 Würstchen verzehrt. Katja ist mit Herrn Mayr verheiratet.

Aufgabe 5: Nürburgring

Es seien v1 = 20 km/h die Geschwindigkeit der ersten Runde, v2 die gesuchte Geschwindigkeit der zweiten Runde und v = 40 km/h die Durchschnittsgeschwindigkeit beider Runden. Für die Gesamtfahrzeit über beide Runden der Länge s gilt:
(1) 2*s/v = s/v1+s/v2
Wenn man nach v2 auflöst und die bekannten Geschwindigkeiten einsetzt, zeigt sich, dass keine reelle Lösung existiert:
(2) v2 = v1*v/(2*v1-v) = 20*40/(2*20-40) km/h = 800/0 km/h
Das Auto kann nicht so schnell fahren, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit 40 km/h beträgt.

Aufgabe 6: Winkel im Quader

Die roten Strecken bilden zusammen mit der Verbindungsstrecke zwischen den freien Enden ein gleichseitiges Dreieck. Der gesuchte Winkel ist einer der Innenwinkel und beträgt 60°.

Aufgabe 7: Gefahr im Auto

Ich fahre mit konstanter Geschwindigkeit, während das Fahrzeug rechts neben mit permanent mit langsamerer Geschwindigkeit fährt. Dies deutet darauf hin, dass ich mich in einer langen Rechtskurve entlang eines Abhangs befinde. Den anderen Verkehrsteilnehmern nach sitze ich auf einem Kinderkarussell. Dem entkomme ich gefahrlos, wenn ich ein paar Minuten warte, bis die Fahrt zu Ende ist, und dann aussteige.

Aufgabe 8: Ziffern-Parade

Die ursprüngliche Zahl hatte den Wert 923076 (=230769*4).

Aufgabe 9: Fußballschuhe

Aus der folgenden Übersicht können die Anzahlen der Schuhe entnommen werden, die im Besitz der Mannschaft oder beim Schuhmacher sind. Dabei wird angenommen, dass alle vorhandenen Paare jeweils zusammen gebunden sind und sich kein Paar beim Schuhmacher befindet.

GrößeLinke
Schuhe
PaareRechte
Schuhe
Vorhandene
Schuhe
Schuhe beim
Schuhmacher
Gesamt
37111426
382308210
392137512
403116410
Summe865251338

Aufgabe 10: Römer-Einmaleins

Das vorgestellte Rechensystem ist allgemein gültig:
Es seien x und y zwei zu multiplizierende Zahlen zwischen 6 und 10. Die Anzahlen der Finger über der Verbindungslinie sind 10-x und 10-y. Außerdem gibt es x-5 bzw. y-5 bisher nicht beteiligte Finger der linken und rechten Hand. Das ermittelte Rechenergebnis stimmt dann mit dem Produkt von x und y überein:
(1) (10-x)*(10-y)+((x-5)+(y-5))*10 = 100-10x-10y+xy+10x+10y-100 = xy