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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

14. Aufgabe 2003

gestellt am 1. September 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Trigonometrie

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Aufgabe

Ein Dreieck, dessen eine Seite durch den Mittelpunkt seines Außenkreises geht, bildet ein (kleineres) rechtwinkliges Dreieck zwischen dem Mittelpunkt seines Innenkreises, dem Mittelpunkt seines Außenkreises und einem seiner Ecken.

Bestimme die Winkel des großen Dreiecks!

Zusatzbemerkung:
Wenn man eine bestimmte Seite des Dreiecks auf 100 cm setzt (ich verrate aber nicht, welche), ist das Areal des "kleinen" rechtwinkligen Dreiecks genau 500 cm².

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

Es seien A, B und C die Ecken des Dreiecks, a, b bzw. c seine Seiten und α, β bzw. γ seine Innenwinkel. Außerdem seien I und r der Mittelpunkt bzw. der Radius des Inkreises (Innenkreises) sowie M und R der Mittelpunkt bzw. der Radius des Umkreises (Außenkreises).
Es wird angenommen, dass M auf der Strecke AB liegt. Weil der Umkreis der Thales-Kreis über AB ist, handelt es sich bei ABC um ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel γ.

Das Dreieck AMI ist rechtwinklig. Der Innenwinkel bei A ist die Hälfte des Innenwinkels α von ABC und damit kleiner als ein rechter Winkel.
Wenn der Innenwinkel bei M ein rechter ist, liegt I auf der Mittelsenkrechten über AB, die Innenwinkel α und β stimmen überein (45°) und ABC ist damit ein gleichschenkliges Dreieck.

Im anderen Fall liegt der rechte Winkel bei I. Dann befindet sich einerseits der Punkt I wegen dieses rechten Winkels auf dem Thales-Kreis über AM. Andererseits liegen die Inkreismittelpunkte aller rechtwinkligen Dreiecke ABC auf einem Kreis um N durch A und B, wobei N der dem Dreieck gegenüber liegende Schnittpunkt des Kreises mit Radius R um M mit der Mittelsenkrechten auf M ist.
Es seien P der Mittelpunkt zwischen A und M, Q der Fußpunkt des Lots von I auf AB und p die Strecke dazwischen. Dann gelten:
(1) (R/2)² = PI² = PQ²+QI² = p²+r² und
(2) R²+R² = AM²+MN² = AN² = IN² = QM²+(IQ+MN)² = (R/2-p)²+(R+r)²
Daraus folgt:
(3) 0 = 2R²-(R/2-p)²-(R+r)² = 3/4*R²+pR-p²-2rR-r² = 3/4*R²+pR-2rR-(R/2)² = (R/2+p-2r)*R und damit
(4) tan(α/2) = IQ/QA = r/(R/2+p) = 1/2
Mit Hilfe eines Additionstheorems lässt sich der Innenwinkel α bestimmen:
(5) tan(α) = 2tan(α/2)/(1-tan²(α/2)) = 2*(1/2)/(1-(1/2)²) = 4/3
Nach dem Satz des Pythagoras ist das Seitenverhältnis im großen Dreieck 4:3:5 und die Innenwinkel betragen α = arctan(4/3) ≈ 53,13°, β = arctan(3/4) ≈ 36,87° und γ = 90°.

Der Flächeninhalt F' des kleinen Dreiecks kann aus dem Flächeninhalt F des großen Dreiecks berechnet werden.
(6) ab/2 = F = ar/2+br/2+cr/2
(7) r = 2F/(a+b+c) = ab/(a+b+c) = (a+b-c)/2
(8) F' = rR/2 = abc/4(a+b+c) = (a+b-c)c/8

Antwort

Das große Dreieck besitzt die Innenwinkel 45°, 45° und 90° oder 53,13°, 36,87° und 90°.
Bei einem großen rechtwinkligen Dreieck mit den Seitenlängen 60 cm, 80 cm und 100 cm beträgt die Fläche des kleinen rechtwinkligen Dreiecks 500 cm².