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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

17. Aufgabe 2003

gestellt am 20. Oktober 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Lauter Kamele

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Aufgabe

Ein reicher Amerikaner macht Urlaub in der Wüste und trifft in einer Oase Ali mit seinen Kamelen. Die Kamele gefallen ihm so gut, dass er sie ihm abkaufen will. Er schlägt Ali vor: "Ich gebe dir für jedes Kamel so viele Dollar wie die Zahl der Kamele, die du mir verkaufst!" Obwohl Ali nicht viel von Mathematik versteht, ahnt er, dass sich das Geschäft lohnen könnte, vor allem, wenn er mehr Kamele hätte. Er geht deshalb zu seinem Freund Achmed, der genau so viele Kamele hat wie er, und schlägt ihm vor, beide Herden zusammen an den Ami zu verkaufen. Achmed ist natürlich sofort einverstanden und am nächsten Tag bringen sie dem Amerikaner die Kamele. Dieser zahlt sofort in bar, und zwar mit 10-Dollar-Scheinen, den Rest (weniger als 10 Dollar) mit Münzen.
Am Abend teilen Ali und Achmed das Geld. Jeder erhält genau die Hälfte der Geldscheine, aber das Aufteilen der Münzen ist Achmed zu mühsam. Er sagt zu Ali: „Nimm du die Münzen und gib mir dafür dein Messer!“ Ali willigt ein und zufrieden geht jeder heim.

Und nun die ganz einfache Frage: Was ist Alis Messer wert?

(eingesandt von Heinz Mayr)

Lösung

Es sei k die Anzahl von Alis Kamelen und
(1) k = 5n+r
die eindeutige Darstellung, wenn r der Rest bei Division durch 5 ist.
Der gezahlte Betrag in Dollar für die doppelt so große Herde ist dann
(2) (2k)2 = (10n+2r)2 = 100n2+40nr+4r2 = 20*(5n2+2nr)+4r2
Für die 5 möglichen Werte von r ergeben sich folgende Reste bei Division des Betrags durch 20:

r4r24r2%20
000
144
21616
33616
4644

Weil der Betrag mit einer geraden Anzahl von 10-Dollar-Scheinen bezahlt wird und dabei ein Rest übrig bleibt, werden 4 Dollar mit Münzen bezahlt. Ali tauscht seine Hälfte hiervon gegen das Messer, welches also 2 Dollar wert ist.

Antwort

Alis Messer ist 2 Dollar wert.