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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

19. Aufgabe 2003

gestellt am 17. November 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

5 Würfel

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

2 Spieler würfeln abwechselnd darum, wer als erster seine Gewinnkombination erwürfelt.

Der erste Spieler soll mit seinen 5 Würfeln (alle 5 im Würfelbecher) die Summe 5 bis 13 erzielen.
(Also z.B. der Wurf 3+2+1+4+1 = 11 gewinnt.)

Der zweite Spieler soll ebenfalls mit 5 Würfeln die "kleine" oder "große" Straße werfen.
("Große" Straße bedeutet z.B. der Wurf: 1 2 3 4 5 oder 2 3 4 5 6, also 5 aufeinander folgende Zahlen, unabhängig von der Lage der Würfel; "kleine" Straße bedeutet z.B. der Wurf: 1 2 3 4 1 oder 3 4 5 6 1, also genau 4 Zahlen in Reihe, aber auch unabhängig von der Lage der Würfel.)

(eingesandt von Lutz Locker)

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Spieler mit 5 Würfeln eine Summe S von (mindestens 5 und) höchstens 13 wirft, beträgt
(1) p1 = ∑(P(S=k); k=5..13) = (1+5+15+35+70+126+205+305+420)/65 = 1182/7776 ≈ 0,1520
Es gibt 4 sortierte kleine Straßen mit einer fünften Zahl, die von allen Zahlen der Straße verschieden ist: 12345, 12346, 13456, 23456. Außerdem gibt es 3*4 sortierte kleine Straßen mit einer fünften Zahl, die schon in der Straße vorkommt. Beachtet man alle Permutationen hiervon, so findet man die Gesamtzahl aller möglichen kleinen (inklusive großen) Straßen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zweite Spieler mit 5 Würfeln eine kleine (oder große) Straße wirft, beträgt
(2) p2 = (4*5!+12*5!/2!)/65 = 1200/7776 ≈ 0,1543

Es seien q1 und q2 die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der erste bzw. der zweite Spieler seine Gewinnkombination wirft, bevor der andere Spieler seine Kombination geworfen hat, wobei der erste Spieler beginnt. Diese lassen sich durch Addition bedingter Wahrscheinlichkeiten errechnen.
(3) q1 = p1+(1-p1)(1-p2)p1+...
  = p1*∑((1-p1)k(1-p2)k; k=1..)
  = p1/(1-(1-p1)(1-p2))
  = 1182*7776/(77762-6594*6576) ≈ 0,5374

(4) q2 = (1-p1)p2+(1-p1)(1-p2)(1-p1)p2+...
  = (1-p1)p2*∑((1-p1)k(1-p2)k; k=1..)
  = (1-p1)p2/(1-(1-p1)(1-p2))
  = 6594*1200/(77762-6594*6576) ≈ 0,4626

Antwort

Wahrscheinlich erwürfelt der erste Spieler als erster seine Gewinnkombination.