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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

2. Aufgabe 2003

gestellt am 27. Januar 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Das übermütige Hündchen

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Aufgabe

Ein kleines Hündchen ist voller Übermut seinem Herrchen Franz ausgerissen und steht nun in sicherer Entfernung von 35m und alles Rufen und Locken bringt es nicht zurück. Plötzlich sieht der kleine Hund einen Hasen und rast los, natürlich nicht in Richtung seines Gebieters, sondern im rechten Winkel dazu. Dem Hundehalter, der den Grund des Davonstürmens nicht erkennen kann, bleibt nichts anderes übrig als sofort hinter seinem Hund her zu rennen, bzw. um genau zu sein, versucht er immer genau auf den Hund zuzulaufen. Nur gut, dass Franz Eineindrittel mal schneller ist als sein Hund. So kann er ihn nach einem kleinen Dauerlauf einholen.

Wie weit ist der kleine Hund gelaufen, bevor er eingeholt wird?

(Franz und der Hund haben für diese Aufgabe jeweils eine konstante Geschwindigkeit, sind zur gleichen Zeit losgerannt und es stehen auch keine Hindernisse im Weg.)

(eingesandt von Sascha)

Lösung

Es seien a = 35m der Abstand zwischen Herr und Hund, bevor sie anfangen zu laufen, und f = 2,5 der Faktor zwischen ihren Geschwindigkeiten. Die Wege des Hundes und seines Herrn können durch Kurven im kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden.
Der Hund bewegt sich gleichförmig mit der Geschwindigkeit v vom Ursprung aus auf der x-Achse entlang:
(1) x0(t) = v*t, y0(t) = 0
Der Weg seines Herrchens beginnt bei
(2) x1(0) = 0, y1(0) = a
Seine aktuelle Bewegung ist bestimmt durch den Vektor zwischen beiden Positionen und seiner konstanten Geschwindigkeit f*v:
(3) x1'(t) = (x0(t)-x1(t))/z(t)*f*v, y1'(t) = (y0(t)-y1(t))/z(t)*f*v mit z(t) = √(x12(t)+y12(t))

Diese Differenzialgleichung mit Anfangswert lässt sich mit folgendem Algorithmus nummerisch lösen.

$a = 35;  // Anfangsentfernung in Metern
$f = 2.5; // Geschwindigkeitsfaktor
$d = .01; // Einzelschrittweite
$x0 = 0;
$y0 = 0;
$x1 = 0;
$y1 = $a;
while ($y1>0) {
    $dx = $x0-$x1;
    $dy = $y0-$y1;
    $dz = $d*$f/sqrt($dx*$dx+$dy*$dy);
    $x0 += $d;
    $x1 += $dx*$dz;
    $y1 += $dy*$dz;
    }

Bei Abbruch enthält $x0 die vom Hund zurückgelegte Strecke in Metern (16,66...).

Eine allgemeine Lösung gibt diese Gleichung an:
(4) s = a*f/(f2-1) = 35m*(5/2)*/((5/2)2-1) = 50/3 m

Antwort

Der kleine Hund ist 16,7 Meter weit gelaufen, bevor er eingeholt wird.