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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

20. Aufgabe 2003

gestellt am 1. Dezember 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Es weihnachtet schon bald
Die neue Eisenbahn

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Es weihnachtet schon bald

Ein Weihnachtsbaumrätsel gegen die potenzielle Langeweile
Ich habe den Baum etwas unkonventionell mit 44 "Zahlenkerzen" geschmückt und es soll ein möglichst schneller Weg von der "2" in der Mitte der untersten Reihe zum Stern(chen) an der Spitze gefunden werden.
Man bewegt sich dabei immer kerzengerade (also nicht zick-zack) entlang der Linien und zwar jeweils um genau so viele "Zahlenkerzen" weiter wie die jeweilige Ausgangszahl bestimmt.
Man könnte z.B. im ersten Zug zur 5-er Kerze nach rechts gehen, von da aus nach links oben zur 1-er Kerze, dann eine Kerze nach rechts zur 2, und dann nach links oben zur 6. Damit wäre man fast oben, aber eben nur fast.

                       *
                      / \
                     6 - 2
                    / \ / \
                   3 - 6 - 2
                  / \ / \ / \
                 5 - 1 - 2 - 1
                / \ / \ / \ / \
               1 - 4 - 3 - 2 - 4
              / \ / \ / \ / \ / \
             1 - 3 - 6 - 5 - 3 - 2
            / \ / \ / \ / \ / \ / \
           4 - 5 - 5 - 2 - 5 - 4 - 3
          / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
         2 - 6 - 1 - 4 - 3 - 2 - 4 - 5
        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
       5 - 3 - 4 - 3 - 2 - 4 - 5 - 4 - 3

(eingesandt von Franjo)

Die neue Eisenbahn

grafik1 Da sitze ich mit meiner neuen Errungenschaft, bestehend aus zwei Zügen und einer Menge Geleise, und überlege, wie die Streckenführung meiner neuen Modellbahn aussehen soll. Einfach drauf los zusammenstecken kann ja jeder. Als Mathematiker hat man da schon höhere Ansprüche. Das muss geplant werden. Aber wie?
Klar, mit dem CAD-Programm könnte es gehen. Der Hersteller hat ja ein paar Angaben über die Schienengeometrie gemacht.
Das Ganze hat ein Streckenraster von 360mm. Der innere Kreis hat also einen Radius von 360mm, gemessen bis zur Schienenmitte.

Der Abstand zum (größeren) Parallelkreis beträgt 77,5mm (Mitte bis Mitte). Das Längenraster für gerade Strecken beträgt ebenfalls 360mm. Das gibt es allerdings nicht am Stück, sondern in zwei Teilen zu 188,3mm und 171,7mm. Aus dem längeren Stück und einem Kreisbogenstück des äußeren Kreises sind die Weichen zusammen gesetzt. Und die Kreuzungsweiche hat die gleiche Geometrie wie eine normale Weiche, nur eben mehrere überlagert.
Mit diesen Angaben hat man sich fix im CAD-Programm die Schienenstücke konstruiert und kann sie nun beliebig hin und her schieben und zusammen fügen.
Beliebig? Na ja, einfache Kreise und Ovale sind kein Problem. Und noch ein Übergang mit 4 Weichen dazu, dann ... sieht das schon mal gut aus.

grafik2

Aber wenn man an den Verbindungen mal mit dem Zoom so richtig genau hinguckt, dann ist es eben doch nicht exakt. Das ist ja eines Mathematikers unwürdig!
Die Frage ist nun, unter der Voraussetzung, dass lediglich der Innenkreisradius und das Längenraster mit 360mm exakt sind: wie lang sind die beiden geraden Schienenstücke wirklich? Welches ist der Parallelabstand? Und welchen Winkel hat das Bogenstück, das bei einer Weiche verwendet wird?

(eingesandt von Dietmar Viertel)

Lösung

Es weihnachtet schon bald

Wie man die Spitze von verschiedenen Ziffern im Baum erreichen kann, lässt sich ermitteln, indem man den Weg zurück verfolgt. Die Spitze erreicht man in einem Schritt von den Ziffern aus, die auf der selben Linie wie die Spitze liegen und deren Wert den Abstand angeben. Eine Ziffer, von der aus man eine so ermittelte Ziffer in einem Schritt erreicht, ist von der Spitze zwei Schritte entfernt. Durch iteratives Fortsetzen findet man die Entfernungen aller erreichbaren Ziffern von der Spitze:


                       0
                      / \
                     6 - 3
                    / \ / \
                   6 - 8 - 1
                  / \ / \ / \
                 9 - 5 - 7 - 2
                / \ / \ / \ / \
               6 - 8 - 4 - 6 - 1
              / \ / \ / \ / \ / \
             5 - 7 - - - - - 7 - 3
            / \ / \ / \ / \ / \ / \
           7 - 4 - - - 5 - - - 5 - 3
          / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
         5 - 3 - 4 - 3 - 2 - 3 - 5 - 2
        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
       9 - 7 - 5 - 6 - 6 - 8 - 6 - 7 - 4

Der Abstand der 2 in der Mitte der untersten Reihe beträgt also 6 und der kürzeste Weg ist der hier markierte:

                       *
                      / \
                     6 - 2
                    / \ / \
                   3 - 6 - 2
                  / \ / \ / \
                 5 - 1 - 2 - 1
                / \ / \ / \ / \
               1 - 4 - 3 - 2 - 4
              / \ / \ / \ / \ / \
             1 - 3 - 6 - 5 - 3 - 2
            / \ / \ / \ / \ / \ / \
           4 - 5 - 5 - 2 - 5 - 4 - 3
          / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
         2 - 6 - 1 - 4 - 3 - 2 - 4 - 5
        / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
       5 - 3 - 4 - 3 - 2 - 4 - 5 - 4 - 3

Die neue Eisenbahn

Es seien α der Winkel des Bogens in einer Weiche, r der Innenkreisradius und das Streckenraster, a und b die Längen des längeren bzw. kürzeren Schienenstücks und d der Parallelabstand. Außerdem sei c = d/r. Dann gelten:
(1) sin(α) = (r/2)/(r+d) = 1/(2(c+1))
(2) cos(α) = (r+d/2)/(r+d) = (c+2)/(2(c+1))
Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras erhält man
(3) 1 = sin²(α)+cos²(α) = (1²+(c+2)²)/(2(c+1))² = (c²+4c+5)/(4c²+8c+4)
Umgeformt ergibt dies die Normalform einer quadratischen Gleichung
(4) c²+4/3*c-1/3 = 0
mit der positiven Lösung
(5) c = (√7-2)/3 ≈ 0,215
Weiterhin findet man
(6) d = c*r ≈ 77,49mm
(7) α = arcsin(1/(2(c+1))) ≈ 24,3°
(8) a = 2(r+d)*tan(α/2) ≈ 188,34
(9) b = r-a ≈ 171,66

Die Längen der geraden Schienenstücke betragen 188,34mm und 171,66mm, der Parallelabstand ist 77,49mm und das Bogenstück in einer Weiche misst 24,3°.