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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

3. Aufgabe 2003

gestellt am 9. Februar 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Kasimir und das Drahtgestell

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Aufgabe

In der Nähe seiner Behausung findet Kasimir ein Drahtgestell, auf dem er trefflich herum krabbeln kann. Was Kasimir nicht weiß: Bei dem Drahtgestell handelt es sich um das (verrostete) Kanten-Modell einer aufrecht stehenden 12-seitigen Pyramide, Grundkante 5 cm, Seitenkante 15 cm.

Kasimir krabbelt zur Mitte einer der Grundkanten. Dort beginnt sein Spaziergang zunächst entlang der Grundkante (n) bis ihn sein Drang nach oben packt. Dann krabbelt er einen der Drähte hoch zur Spitze, schaut sich um, und krabbelt dann einen anderen Draht wieder hinunter. Unten setzt er seinen Spaziergang auf den Grundkanten fort, bis er zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Und natürlich passt Kasimir höllisch auf, nur ja keinen Punkt zweimal zu bekrabbeln.

Wie viele verschiedene Wege stehen Kasimir zur Verfügung?
In welchem Zeitrahmen bewegen sich die verschiedenen Spaziergänge bei einer Krabbelgeschwindigkeit von 10 cm/Minute?
Wie lange dauert es, bis alle verschiedenen Wege abgekrabbelt sind?

(eingesandt von Rolf Herrmann)

Lösung

Es seien n = 12 die Anzahl der Pyramidenseiten, g = 5cm die Länge einer Grundkante, s = 15cm die Länge einer Seitenkante und v = 10cm/min Kasimirs Krabbelgeschwindigkeit.
Auf seinen Wegen entscheidet sich Kasimir am Startpunkt für eine Richtung und unterwegs, auf welcher Seitenkante er hinauf krabbelt. Auf der Spitze kann er sich dann zum Herabkrabbeln eine der Seitenkanten aussuchen, deren Endpunkte auf seinem bisherigen Weg an der Unterseite noch vor ihm lagen.

Die Anzahl der Wege ist damit
(1) ∑(∑(1; j=i+1..n); i=1..n) = ∑(n-i; i=1..n) = n*(n-1)/2 = 12*11/2 = 66

Die für einen Weg benötigte Zeit (ohne Pause an der Spitze) liegt im Intervall
(2) [(g+2*s)/v; ((n-1)*g+2*s)/v] = [(5cm+2*15cm)/(10cm/min); ((12-1)*5cm+2*15cm)/(10cm/min)] = [3,5min; 8,5min]

Die Gesamtdauer für alle verschiedenen Wege beträgt
(3) ∑(∑((i+n-j)*g+2*s; j=i+1..n); i=1..n)/v
  = ∑((n-i)*2*s+∑((i+n-j); j=i+1..n)*g; i=1..n)/v
  = (∑((n-i)*(n-1+i)/2; i=1..n)*g+n*(n-1)*s)/v
  = (∑(n*(n-1)/2-i*(i-1)/2; i=1..n)*g+n*(n-1)*s)/v
  = n*(n*(n-1)/2+(n+1)*(1/4-(2*n+1)/12)/4*g+(n-1)*s)/v
  = 451min

Antwort

Kasimir stehen 66 verschiedene (ungerichtete) Wege zur Verfügung.
Die verschiedenen Spaziergänge dauern zwischen 3,5 Minuten und 8,5 Minuten.
Es dauert 7 Stunden und 31 Minuten, bis alle verschiedenen Wege abgekrabbelt sind.
Wird zur Unterscheidung der Wege die Richtung beachtet, verdoppeln sich alle Angaben.