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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

5. Aufgabe 2003

gestellt am 10. März 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Abbés Zahlenbuch
(auch ohne Programmierkenntnisse zu lösen)

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Aus den Buchstaben A, B, C, D, E, F, G, H kann man durch beliebige Permutation „Wörter“ bilden (genauer gesagt Buchstabenkombinationen, die jeden dieser Buchstaben genau einmal enthalten).
Im 18. Jahrhundert hat ein französischer Abbé und Hobbymathematiker sich tatsächlich die Mühe gemacht, alle diese Kombinationen in einem Buch zu veröffentlichen, und zwar durchnummeriert und alphabetisch geordnet. Auf einer Seite waren sie in vier Spalten zu je 30 Zeilen angeordnet und jeweils von oben nach unten nummeriert.
Dazu einige Fragen:

1. Wie viele Buchseiten waren dazu nötig?

2. Welches „Wort“ stand auf der 159. Seite in der dritten Spalte als viertes von unten?

3. Welche Nummer hatte das „Wort“ EFGHDCBA und wo stand es?

(eingesandt von Heinz Mayr)

Lösung

1. Die 8! Wörtern verteilten sich auf Seiten mit jeweils 4*30 Wörtern:
(1) 8!/(4*30) = 336

2. Das gesuchte Wort befand sich hinter den ersten 158*4+2 Spalten an der Position 27, hatte also die Nummer
(2) (158*4+2)*30+27 = 19047 = 7!*3+6!*5+5!*2+4!*3+3!*2+2!*1+1!*0+1
Die ersten 7!*3Wörter waren die, die mit A/B/C begannen,
die nächsten 6!*5Wörter sind die, die mit D und A/B/C/E/F begannen,
die nächsten 5!*2Wörter waren die, die mit D, G und A/B begannen,
die nächsten 4!*3Wörter waren die, die mit D, G, C und A/B/E begannen,
die nächsten 3!*2Wörter waren die, die mit D, G, C, F und A/B begannen, und
die nächsten 2!*1 Wörter waren die, die mit D, G, C, F, E und A begannen.
Das erste darauf folgende Wort war DGCFEBAH.

3. Dem Wort EFGHDCBA gingen voran
7!*4 Wörter, die mit A/B/C/D begannen,
6!*4 Wörter, die mit E und A/B/C/D begannen,
5!*4 Wörter, die mit E, F und A/B/C/D begannen,
4!*4 Wörter, die mit E, F, G und A/B/C/D begannen,
3!*3 Wörter, die mit E, F, G, H und A/B/C begannen,
2!*2 Wörter, die mit E, F, G, H, D und A/B begannen und
1!*1 Wort, das mit E, F, G, H, D, C und A begann.
Das gesuchte Wort hatte daher die Nummer
(3) 7!*4+6!*4+5!*4+4!*4+3!*3+2!*2+1!*1+1 = 23640 = 197*4*30
und stand auf der 197. Seite an letzter Position.