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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

6. Aufgabe 2003

gestellt am 24. März 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Grundstück teilen

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Zwei Brüder erben ein dreieckiges Grundstück, das sie gerecht teilen wollen. Jeder soll also die Hälfte bekommen.
Das allein wäre natürlich weiter kein Problem, aber beide müssen ihre Grundstückshälften auch noch einzäunen, und Zaun ist bekanntlich sehr teuer. Die Kosten für den Grenzzaun können und wollen sie sich zwar brüderlich teilen, aber für den Rest seines Grundstückes muss schon jeder selbst aufkommen, und deshalb suchen die beiden nach einer solchen Teilung der Fläche, bei der auch die UMFÄNGE der beiden Hälften genau gleich sind.
Wäre das Dreieck gleichschenklig, so ließe sich das auch noch leicht bewerkstelligen, aber leider betragen seine Seitenlängen 40, 50 und 60 Meter.

(Nachtrag vom 25.3.2003: Bevorzugt ist eine geradlinige Teilung der Fläche, denn wer will schon einen Zick-Zack-Zaun?)

Kann jemand den Brüdern helfen?

(eingesandt von Franjo Schulte)

Lösung

Es seien a = 40m, b = 50m und c = 60m die Seitenlängen des Dreiecks.
Mit dem Cosinus-Satz können die drei Innenwinkel berechnet werden.
(1) α = arccos((b2+c2-a2)/(2bc)) ≈ 41,4°
(2) β = arccos((a2+c2-b2)/(2ac)) ≈ 55,8°
(3) γ = arccos((a2+b2-c2)/(2ab)) ≈ 82,8°
Die Fläche ergibt sich mit Hilfe des halben Umfangs aus der Heronischen Formel.
(4) s = (a+b+c)/2 = 75m
(5) F = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) ≈ 992m2

Die drei Winkelhalbierenden des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt (Inkreismittelpunkt). Die drei Verbindungsstrecken von diesem Punkt zu den Ecken und die drei Lote von diesem Punkt auf die Seiten teilen das Dreieck in 6 paarweise kongruente rechtwinklige Dreiecke. Wenn diese so an die beiden Brüder vergeben werden, dass niemand zwei benachbarte Teildreiecke erhält, haben die geerbten Grundstücke nicht nur die selbe Fläche und den selben Umfang, sondern auch kongruente Komponenten.

Es gibt aber auch eine gerade Linie, die die Fläche und den Umfang des Grundstück in zwei Hälften teilt.

Bei einer Teilung eines Dreiecks durch eine Gerade entstehen im allgemeinen Fall ein Dreieck und ein Viereck. Es seien p und q die Längen der beiden Seiten des entstehenden Dreiecks, die nicht mit der Trennlinie zusammen fallen, und φ der Winkel dazwischen.
Gesucht werden solche Werte für p und q, die zwei Bedingungen erfüllen. Die eingeschlossene Fläche ist die Hälfte der Fläche des Gesamtdreiecks
(6) p*q*sinφ/2 = F/2   und
die Summe ist so groß wie der halbe Umfang
(7) p+q = s
Aus beiden Gleichungen zusammen entsteht eine quadratische Gleichung.
(8) p2-s*p+F/sinφ = 0
Lösungen gibt es für φ = β (≈ 23,1 und ≈ 51,9) sowie für φ = γ (≈ 17,3 und ≈ 57,7), wobei nur die Strecken eines Lösungspaares so auf die Seiten des Ausgangsdreiecks gelegt werden können, dass deren Längen nicht überschritten werden:
(9) φ = β, 23,1<a, 51,9<c