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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

7. Aufgabe 2003

gestellt am 7. April 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Osterküken

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Aufgabe

Eine Bäuerin verkauft 10 Küken zu einem bestimmten Stückpreis, dann verkauft sie 5 Küken zu einem um 50 Cent niedrigeren Stückpreis. Beide Summen sind volle Euro-Werte zwischen 10 und 99 Euro.

Zu welchen Preisen wurden die Küken verkauft, wenn die zweite Verkaufssumme durch die selben Ziffern ausgedrückt wird wie die der ersten Verkaufssumme, allerdings in umgekehrter Reihenfolge.

(eingesandt von Ingo Albrecht)

Lösung

Es sei p der anfängliche Stückpreis eines Kükens und damit p-50 der spätere Stückpreis eines Kükens in Cent.

Beide Verkaufssummen sind ganzzahlige zweistellige Euro-Beträge.
(1) S1 = 10*p/100 = p/10 ∈ {10,...,99}
(2) S2 = 5*(p-50)/100 = (p-50)/20 ∈ {10,...,99}

Hieraus folgt, dass p ein ungeradzahliges Vielfaches von 10 ist:
(3) p ≡ 50 ≡ 10 (mod 20)
Weil die Verkaufssummen die selbe Quersumme haben, ist ihre Differenz durch 9 teilbar:
(4) 9 | S1-S2 = 10*p-5*(p-50) = 5*(p+50)
Zusammen mit (3) ergibt sich folgende Kongruenz:
(5) p+50 ≡ 0 (mod 20*9)

Außerdem liegt p wegen (1) und (2) im Intervall [10*10,...,99*10]∩[10*20+50,...,99*20+50] = [250,...,990].
Von den vier möglichen Werten für p erfüllt nur einer die Bedingung, dass die zugehörigen Verkaufssummen spiegelverkehrte Dezimaldarstellungen besitzen.

pp-50S1S2
31026031€13€
49044049€22€
67062067€31€
85080085€40€

Antwort

Die Küken wurden zu 3,10€ und 2,60€ pro Stück verkauft.