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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

9. Aufgabe 2003

gestellt am 12. Mai 2003 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Variablen

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Zeige, dass aus x + y + z = 1
xy + yz + xz < 1/2 folgt!

Zusatzfrage: Gilt das wirklich für alle x, y, z?

(eingesandt von CARROLL)

Lösung

Es seien x, y und z reelle Zahlen und es gelte die Gleichung
(1) x+y+z = 1
oder nach z aufgelöst
(2) z = 1-x-y

Dann lässt sich folgende Ungleichung herleiten:
(3) xy + yz + xz
  = xy + y(1-x-y) + x(1-x-y)
  = x - x2 + y - y2 - xy
  = 1/3 - ((x-1/3)2 + (x-1/3)(y-1/3) + (y-1/3)2)
  = 1/3 - ((x-1/3)+(y-1/3)/2)2 - 3/4*(y-1/3)2
  ≤ 1/3 < 1/2

Für komplexe Zahlen gilt diese Folgerung nicht, denn aus
(4) x = 1/2+i/2, y = 1/2-i/2, z = 0 folgt
(5) x+y+z = 1, aber es gilt
(6) xy + yz + xz = 1/2.