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gestellt am 1. Februar 2004 in der
Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns
Rolltreppe
 Aufgabe | Lösung | Antwort |
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Ich möchte gerne wissen, wie viele Stufen einer Rolltreppe zu jedem Zeitpunkt sichtbar sind.
Dazu laufe ich die Treppe mit konstanter Geschwindigkeit [Stufen/s] hinauf und merke mir die Anzahl a der gestiegenen Stufen.
Dann drehe ich um und laufe die Treppe in der gleichen Geschwindigkeit nach unten und merke mir die Anzahl der genommenen Stufen b.
Wenn nun a = 24 und b = 264 ist, wie viele Stufen sind bei dieser Rolltreppe jederzeit sichtbar?
(eingesandt von Frank Bretz)
Es seien v die Geschwindigkeit der Rolltreppe und w die eigene Gehgeschwindigkeit in Stufen/Sekunde sowie n die gesuchte Anzahl der jederzeit sichtbaren Stufen.
In der selben Zeit, in der man die Strecke von n Stufen in Fahrtrichtung überwindet, geht man a Stufen voran:
(1) n/(w+v) = a/w
In der selben Zeit, in der man die Strecke von n Stufen entgegen der Fahrtrichtung überwindet, geht man b Stufen voran:
(2) n/(w-v) = b/w
Nach Erweitern mit den Nennern und Gleichsetzen erhält man
(3) a(w+v) = nw = b(w-v)
Anders zusammen gefasst ergibt dies
(4) (b+a)v = (b-a)w
Damit ist das Geschwindigkeitsverhältnis bekannt und kann eingesetzt werden, um die Anzahl der Stufen zu bestimmen:
(5) n = a(w+v)/w = a(1+v/w) = a(1+(b-a)/(b+a)) = 2ab/(a+b) = 2*24*264/(24+264) = 44
Bei der Rolltreppe sind jederzeit 44 Stufen sichtbar.
Jörg Wiegels