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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

1. Aufgabe 2004

gestellt am 1. Februar 2004 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Rolltreppe

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

Ich möchte gerne wissen, wie viele Stufen einer Rolltreppe zu jedem Zeitpunkt sichtbar sind. Dazu laufe ich die Treppe mit konstanter Geschwindigkeit [Stufen/s] hinauf und merke mir die Anzahl a der gestiegenen Stufen. Dann drehe ich um und laufe die Treppe in der gleichen Geschwindigkeit nach unten und merke mir die Anzahl der genommenen Stufen b.
Wenn nun a = 24 und b = 264 ist, wie viele Stufen sind bei dieser Rolltreppe jederzeit sichtbar?

(eingesandt von Frank Bretz)

Lösung

Es seien v die Geschwindigkeit der Rolltreppe und w die eigene Gehgeschwindigkeit in Stufen/Sekunde sowie n die gesuchte Anzahl der jederzeit sichtbaren Stufen.
In der selben Zeit, in der man die Strecke von n Stufen in Fahrtrichtung überwindet, geht man a Stufen voran:
(1) n/(w+v) = a/w
In der selben Zeit, in der man die Strecke von n Stufen entgegen der Fahrtrichtung überwindet, geht man b Stufen voran:
(2) n/(w-v) = b/w
Nach Erweitern mit den Nennern und Gleichsetzen erhält man
(3) a(w+v) = nw = b(w-v)
Anders zusammen gefasst ergibt dies
(4) (b+a)v = (b-a)w
Damit ist das Geschwindigkeitsverhältnis bekannt und kann eingesetzt werden, um die Anzahl der Stufen zu bestimmen:
(5) n = a(w+v)/w = a(1+v/w) = a(1+(b-a)/(b+a)) = 2ab/(a+b) = 2*24*264/(24+264) = 44

Antwort

Bei der Rolltreppe sind jederzeit 44 Stufen sichtbar.