Vorherige Aufgabe   Übersicht 2004   Nächste Aufgabe 

Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

10. Aufgabe 2004

gestellt am 7. Dezember 2004 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Weihnachtsbärchen

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

Santa und Claus verbrachten die letzten drei Tage damit, für Weihnachten Teddybären in drei verschiedenen Größen zu besorgen.
"Am ersten Tag konzentrierte ich mich auf den Einkauf der kleinsten Bären und Claus sich auf den Kauf der größten. Am zweiten Tag kauften wir die mittlere Größe. Und am dritten Tag kaufte ich große und Claus kleine Bären.
Vom Standpunkt eines Buchhalters war unser Einkauf sehr merkwürdig. Ich kaufte am zweiten Tag einen Bären weniger als am ersten Tag und am dritten Tag wieder einen Bären weniger. Bei Claus war es gerade umgekehrt. Er kaufte am zweiten Tag einen Bären mehr als am ersten Tag und am dritten Tag einen Bären mehr als am zweiten Tag.
Es gab dabei keine großen Preisunterschiede.
Jeder von uns zahlte 20 Cents mehr für einen Bären mittlerer Größe als für einen kleinen Bären und 20 Cents mehr für einen großen Bären als für einen Bären mittlerer Größe. Ob Sie es glauben oder nicht: wir gaben beide den gleichen Betrag von 28,67 Euro aus."
"Dann müssen Sie die gleichen Preise für ihre Bären gezahlt haben" sagte jemand, "und Sie müssen von jeder Sorte die gleiche Anzahl gekauft haben."
"Beides stimmt nicht", sagte Santa leicht gereizt. "Claus ist ein besserer Einkäufer als ich, und er brachte es fertig, mehr Bären als ich zu kaufen. Übrigens müssen Sie noch wissen, dass jede Größe der Bären eine gewisse Menge Cents kostete.

Wie viele Bären kaufte Claus mehr als Santa?

(eingesandt von Susi Nerlich)

Lösung

Es seien as und ac die Anzahlen von Bären, die Santa bzw. Claus am zweiten Tag gekauft haben, sowie bs und bc die Preise in Cents, die Santa bzw. Claus für einen mittleren Bären bezahlt haben.

Insgesamt gaben Santa und Claus an den drei Tagen die folgenden Beträge aus:
(1) S = (as+1)(bs-20) + as*bs + (as-1)(bs+20) = 3*as*bs-40 = 2867
(2) C = (ac-1)(bc+20) + ac*bc + (ac+1)(bc-20) = 3*ac*bc-40 = 2867

Daraus folgt
(3) as*bs = ac*bc = (2867+40)/3 = 969 = 3*17*19

Dieses Produkt aus drei Primfaktoren lässt sich auf zwei Weisen so zerlegen, dass der zweite Faktor um 20 verringert werden kann, ohne negativ zu werden. Unter Berücksichtigung der höheren Einkaufszahlen von Claus ergeben sich folgende Anzahlen und Preise:
(4) S = 18*37 + 17*57 + 16*77 = 2867
(5) C = 18*71 + 19*51 + 20*31 = 2867

Die Differenz der Einkaufszahlen ist dann
(6) ((ac+1)+ac+(ac-1))-((as+1)+as+(as-1)) = 3*(ac-as) = 3*(19-17) = 6

Antwort

Claus kaufte 6 Bären mehr als Santa.