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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

2. Aufgabe 2004

gestellt am 1. März 2004 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Kasimir kreiselt

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Aufgabe

Kreiskarussell In einen Kreis wird ein kleinerer Kreis mit halbem Radius an den untersten Punkt des großen Kreises eingezeichnet. Kasimir, unser kleiner Krabbelkäfer, der mal wieder von nichts eine Ahnung hat, landet nun auf dem Rand des kleinen Kreises genau auf 9:00 Uhr (am westlichsten Punkt).
Was er mal wieder nicht weiß, er ist auf einem Karussell gelandet, bei dem der kleine Kreis im großen Kreis zu rollen beginnt.
Wie groß ist Kasimirs Weg im Karussell, bis er wieder an seinen Ausgangspunkt gelangt, wenn das Karussell sich nun gegen den Uhrzeigersinn zu drehen beginnt?

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

Es seien R und r = R/2 die Radien des großen bzw. des kleinen Kreises.
Kasimirs Weg beschreibt eine gemeine Hypozykloide, einer Überlagerung zweier Kreisbahnen, von denen die größere gegen den Uhrzeigersinn und die kleinere im Uhrzeigersinn durchlaufen werden, weil der kleinere Kreis im größeren innen abgerollt wird.
Legt man den Ursprung des Koordinatensystem in den Mittelpunkt des großen Kreises und hat zu einem Zeitpunkt der Mittelpunkt des kleinen Kreises den Winkel α um diesen Punkt zurückgelegt, dann befindet sich Kasimir an einem Punkt mit den Koordinaten
(1) (x, y) = (R-r)*(cos(α-π/2), sin(α-π/2)) + r*(cos(π-α), sin(π-α))
Nach Ersetzen von r erhält man
(2) (x, y) = (R-R/2)*(sinα, -cosα) + R/2*(-cosα, sinα)
           = R/2*(sinα-cosα, -cosα+sinα)
           = R/√2*sin(α-π/4)*(1, 1)
Die Kurve verläuft also auf der Hauptdiagonalen und durchquert den Durchmesser des großen Kreises zwischen (-R/√2, -R/√2) und (R/√2, R/√2) während einer Umdrehung zweimal, so dass die Länge des Weges 4R beträgt.

Siehe auch Hypocycloid -- from MathWorld

Antwort

Kasimirs Weg ist viermal so lang wie der Radius des großen Kreises.