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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

3. Aufgabe 2004

gestellt am 4. April 2004 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Ostereier teilen

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Aufgabe

Die 5 Kinder der Familie Hasenfuß, Achim, Bernd, Chris, David und Enno waren fleißig beim Eier suchen.
Achim und Bernd fanden zusammen 14 Eier, Bernd und Chris zusammen 20 Eier, Chris und David zusammen 18 Eier und David zusammen mit Enno nur 12 Eier. Achim und Enno fanden die gleiche Anzahl Ostereier.
Um noch lange Spaß beim Teilen der Eier zu haben, dachten sich die Jungen Folgendes aus:
Chris legte seine Beute mit der von Bernd und David zusammen, dann nahm jeder von ihnen ein Drittel. Nacheinander taten die anderen Brüder nun das Gleiche wie Chris, das heißt, jeder legte seine Ostereier mit denen von zwei anderen zusammen und dann wurde die Summe durch drei geteilt. David tat sich mit Chris und Enno zusammen, dann Enno mit David und Achim, Achim mit Enno und Bernd und zum Schluss noch Bernd mit Achim und Chris.
In allen 5 Fällen ging die Teilung glatt auf, so dass kein Ei zerschlagen wurde.

Am Ende hatten alle 5 Jungen die gleiche Anzahl Ostereier.

Wie viele Eier hat jeder der 5 Jungen nach dem Suchen gefunden?

(eingesandt von Susi Nerlich)

Lösung

Es seien ak, bk, ck, dk und ek die Anzahlen der Eier, die Achim, Bernd, Chris, David bzw. Enno nach k Umverteilungen besitzen.

Über die Summen der beim Suchen gefundenen Eier weiß man:
(1a) a0+b0 = 14
(1b) b0+c0 = 20
(1c) c0+d0 = 18
(1d) d0+e0 = 12
(1e) a0 = e0

Bei den Aufteilungen, an denen jeder der Brüder jeweils drei Mal beteiligt ist, entstehen die neuen Anzahlen
(2a) b1 = c1 = d1 = (b0+c0+d0)/3
(2b) c2 = d2 = e1 = (c1+d1+e0)/3
(2c) d3 = e2 = a1 = (d2+e1+a0)/3
(2d) e3 = a2 = b2 = (e2+a1+b1)/3
(2e) a3 = b3 = c3 = (a2+b2+c2)/3

Am Ende besitzen alle Brüder gleich viele Eier:
(3) a3 = b3 = c3 = d3 = e3

Aus (1d) und (1c) folgt
(4a) e0 = 12-d0 = 12-(18-c0) = c0-6 und
(4b) 6 ≤ e0+6 = c0 = 18-d0 ≤ 18

Die Zahlen
(5a) c1 = d1 = (b0+c0+d0)/3 = ((b0+c0)+(c0+d0)-c0)/3 = (20+18-c0)/3 = (38-c0)/3 und
(5b) c2 = (c1+d1+e0)/3 = (2*(38-c0)/3+c0-6)/3 = (58+c0)/9
sind ganzzahlig, womit über c0 der Neunerrest bekannt ist:
(6) c0 ≡ -58 ≡ 5 (mod 9)
c0 liegt nach (4b) im Intervall [6..18] und hat deshalb den Wert 14. Die übrigen Anzahlen der gefundenen Eier können mit (1a) bis (1e) ermittelt werden. Am Ende besitzen alle Brüder 8 Eier.

Antwort

Nach dem Suchen haben Achim, Bernd, Chris, David und Enno 8, 6, 14, 4 bzw. 8 Eier gefunden.