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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

5. Aufgabe 2004

gestellt am 3. Juni 2004 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Gartengeometrie

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Aufgabe


(Skizze nicht maßstabgerecht)

Tim hat eine Gartenfläche in Form eines (gleichschenkligen) Trapezes (siehe Abb.) und unterteilt sie mit 2 Stricken in 4 Beete. Auf dem kleinsten möchte er einen Steingarten anlegen, auf dem größten Rosen pflanzen und auf den beiden restlichen Flächen Rasen aussäen.

Für wie viele Quadratmeter benötigt Tim Grassamen?

(eingesandt von Dead Chaot)

Lösung

Es seien a (= 20m) und b (= 5,6m) die Grundseiten des gleichschenkligen Trapezes, c (= 12m) die Länge der Schenkel und M der Schnittpunkt der Diagonalen.

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lässt sich die Höhe berechnen.
(1) h = √(c2-(|a-b|/2)2) = 9,6m
Der Punkt M teilt wegen der Strahlensätze eine durch M verlaufende Höhenlinie im Verhältnis a:b. Damit betragen die Höhen der Dreiecke über a und b mit Spitze M
(2) ha = a/(a+b)*h = 7,5m und hb = b/(a+b)*h = 2,1m
Die Gesamtfläche F ohne die Flächen der Dreiecke über a und b ist dann
(3) F' = F-(Fa+Fb)
       = (a+b)*h/2-(a*ha+b*hb)/2
       = (a*(h-ha)+b*(h-hb))/2
       = (a*hb+b*ha)/2
       = (a*b/(a+b)*h+b*a/(a+b)*h)/2
       = a*b/(a+b)*h = 42m2

Weil die Fläche Fa größer und Fb kleiner als die Hälfte von F' sind, handelt es sich bei den beiden gleich großen Dreiecken über den Schenkeln um die Rasenflächen.

Antwort

Tim benötigt Grassamen für 42 Quadratmeter.