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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

7. Aufgabe 2004

gestellt am 1. September 2004 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Fußball

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Aufgabe

Die Bundesliga ist auf der aufreibenden Jagd nach Punkten (Ein Sieg bringt 3 Punkte, ein Unentschieden immerhin einen Zähler). 18 Mannschaften kämpfen untereinander und jede versucht ihr Saisonziel zu erreichen; für die einen ist es die Meisterschaft, ein Champions-League-Platz (2. Platz), ein UEFA-Cup-Platz (mindestens 6.) oder einfach nur das Ziel, nicht abzusteigen (mindestens 15. Platz).
Nach der letzten Saison, der Meister hatte so wenige Punkte erspielt wie eben möglich, um trotzdem Meister zu werden, schworen sich die Verantwortlichen im kommenden Jahr attraktiveren Fußball zu bieten. Und so kam es: Die Spiele waren spannend und am Ende gab es einen verdienten und auch glücklichen Meister, der aufgrund seiner Tordifferenz knapp die Nase vorn hatte. Die drei letzten mussten den schweren Gang in die Zweitklassigkeit antreten. Besonders bitter war es, dass man mit so vielen Punkten wie eben möglich trotzdem noch absteigen konnte.

Fragen:
Mit wie wenigen Punkten konnte man in der ersten Saison Meister werden?
Mit wie vielen Punkten stieg man in der nächsten Saison trotzdem ab?
Wie wenige Punkte reichen u. U. zur Champions-League-Qualifikation (2. Platz)?
Wie wenige Punkte reichen u. U. zum UEFA-Cup-Platz (mindestens 6. Platz)?

(Es müssen alle 4 Teilfragen richtig beantwortet werden, um einen Smiley zu erhalten.)

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

Jede der teilnehmenden 18 Mannschaften ist jeweils ein Mal Gastgeber aller übrigen 17 Mannschaften. Weil bei jedem Spiel zwei Mannschaften beteiligt sind, finden je 9 Begegnungen an jedem der 34 Spieltage statt.

Wenn alle Spiele der Saison 1:1 ausgehen, besitzen am Ende alle Mannschaften 34 Punkte. Eine Mannschaft, die davon abweichend ein Spiel gewinnt, wird mit 36 Punkten Meister. Gäbe es mehr Siege in der Saison, dann würden auch mehr Punkte verteilt (3 statt insgesamt 2 für jede entschiedene Partie), wodurch der Durchschnitt und damit auch die maximale Punktzahl größer wäre.

Wenn die Absteiger möglichst viele Punkte erreichen, ist die Gesamtzahl aller vergebenen Punkte möglichst hoch, was bedeutet, dass es in allen Spielen einen Sieger gibt. Außerdem sind die vergebenen Punkte gleichmäßig über alle Teilnehmer verteilt, sonst könnte man die Mannschaftsergebnisse durch Umverteilen einander angleichen und so das Minimum anheben. Dies ist der Fall, wenn es nur Heimsiege gibt, also jede Mannschaft am Ende der Saison (3*17 =) 51 Punkte besitzt. Entscheidend für die Platzierung ist dann nur die Tordifferenz.

Um mit möglichst wenigen Punkten auf den 2. oder 6. Platz zu kommen, können 36 Punkte reichen. Die hierbei erfolgreichen Mannschaften haben dann wie der Meister im ersten Fall nur ein Spiel gewonnen, aber mit schlechterem Torverhältnis.

Antwort

In der ersten Saison konnte man mit 36 Punkten Meister werden.

Mit 51 Punkten stieg man in der nächsten Saison trotzdem ab.

Zur Champions-League-Qualifikation und zum EUFA-Cup-Platz können 36 Punkte reichen.