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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

9. Aufgabe 2004

gestellt am 4. November 2004 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Kasimir - ein Wintermärchen

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Aufgabe

Es hat unser Käfer, der Kasimir
ein spitzes Ding gefunden,
das in ihm gleich den Wunsch erweckt
dieses komische Ding zu umrunden.

Der Käfer krabbelt nicht sehr schnell
- er ist halt ein Leisetreter -
und dennoch schafft er auf ebenem Pfad
pro Stunde genau sieben Meter.

So startet unser kleiner Freund
und umrundet den Körper sofort.
Er läuft im Kreis (zwölf Minuten genau)
bis erneut er am Ausgangsort

Wir kennen Kasimirs komischen Hang
- die meisten sind wirklich zum lachen -
bei seinen Spaziergängen- dann und wann -
die verrücktesten Sachen zu machen.

So ist es auch heuer (wen wundert das schon?)
so kommt's auch, ihr werdet es sehen.
Er macht sich bereit, dieses komische Ding
auf dem kürzesten Weg zu umgehen

Er läuft - mit halber Geschwindigkeit -
auf schnellstem Wege nach oben,
dann doppelt so schnell wie gewöhnlich bergab.
Man sollt' für die Leistung ihn loben.

So schafft er den eierigen zweiten Weg
genau in dreiviertel der Zeit.
Jetzt sind euch die Parameter bekannt,
nun Rätsler macht euch bereit.

Das komische Ding, auf das Kasimir traf,
ist ein Körper der Geometrie,
ein gerader dazu - sonst würd's Rätsel zu schwer,
und eindeutig wäre es nie.

Der Käfer, er war auf 'nem Mingolfplatz
als das komische Ding er fand.
Jetzt ist es euch klar! Wie nennt man das Ding
und ist euch die Höhe bekannt?

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

Weil der Gegenstand eine Spitze besitzt und gerade ist, handelt es sich vermutlich um einen Kegel. Es seien r und h der Radius der Grundfläche bzw. die Höhe des Kegels. Für den Umfang s0 der Grundfläche braucht Kasimir bei einer Geschwindigkeit v0 = 7m/h die Zeit t0 = 12min.
(1) v0 = s0/t0 = 2πr/t0
Hieraus lässt sich der Radius bestimmen:
(2) r = v0t0/2π = 7m/h*0,2h/2π ~ 0,223m

Wenn Kasimir den Weg über die Spitze nimmt, um auf die andere Seite zu gelangen, setzt sich sein Weg aus zwei gleichen Teilwegen zusammen, die er mit den Geschwindigkeiten v1 = 3,5m/h und v2 = 14m/h zurücklegt, wofür er die folgende Zeit benötigt:
(3) t1 = (1/v1+1/v2)*√(r²+h²)
Außerdem ist das Verhältnis der Zeiten bekannt:
(4) t1 = t0*3/4
Danach kann man die Höhe des Kegels berechnen:
(5) h = √((t0*3/4/(1/v1+1/v2))²-r²) ~ 0,356m

Wenn Kasimir den kürzesten Weg zum gegenüber liegenden Punkt nimmt, läuft er entlang eines Kegelschnitts, nämlich einer Ellipse. Die Schnittebene geht dabei durch Start- und Zielpunkt und ist so geneigt, dass das Lot von der Kegelspitze auf die Ebene innerhalb des Kegelmantels verläuft.

Möglicherweise handelt es sich bei dem Gegenstand um ein Kugelsegment. Dieses besitzt zwar keine echte Spitze, aber einen höchsten Punkt. Ist R der Kugelradius, dann gilt
(6) R = √(R²-r²)+h und damit
(7) R = (h²+r²)/2h
In diesem Fall benötigt Kasimir für den zweiten Weg die folgende Zeit:
(8) t1 = (1/v1+1/v2)*R*2*arctan(h/r)
Mit (4) ergibt sich dann:
(9) h ~ √((2*t0*3/4/(1/v1+1/v2))²-(2r)²)*3/16) ~ 0,308m

Antwort

Das Ding ist ein Kegel mit der Höhe 35,6cm oder ein Kugelsegment mit der Höhe 30,8cm.