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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

6. Aufgabe 2005

gestellt am 20. Juli 2005 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Sommer-Mix

Aufgabe	Lösung

Aufgabe

Aufgabe 1: Die brennenden Seile

Löse Aufgabe a oder b:

1. Vor dir liegen zwei Seile und ein Feuerzeug. Die zwei Seile brennen, wenn man sie an einem Ende anzündet, je eine Stunde. Die "Brenngeschwindigkeit" der Seile kann unterschiedlich sein. Die Seile sollten nach genau 45 Minuten abgebrannt sein.
2. Man hat ein Feuerzeug und zwei Zündschnüre vor sich liegen, beide brennen exakt 20 Minuten. Wie ist es möglich genau 15 Minuten zu berechnen. Die Schnüre sind weder zu verlegen, noch sind sie gleich lang. Man verfügt auch über keine Hilfsmittel.

(eingesandt von Katharina Daun (a) und Katharina T. (b))

Aufgabe 2: Buchstaben im Quadrat

In einem Quadrat aus 16 Feldern sind 4 Buchstaben so einzusetzen, dass sich in jeder waagerechten und senkrechten Reihe und in jeder Diagonale nur ein Buchstabe befindet.

Wie viele Lösungen gibt es für vier gleiche Buchstaben und wie viele Lösungen für vier verschiedene Buchstaben?

(eingesandt von SvenL)

Aufgabe 3: Karneval auf den Inseln

Aus den Berichten des großen Smullyan wusste ich, dass auf diesen Inseln nur Ritter lebten, die stets die Wahrheit sagen, und Racker, die immer lügen. Was ich noch nicht gewusst hatte, war, dass man dort auch Karneval feierte.

1. Die Tochter des Ritters
   "Da - " sagte mein Gastgeber, ein Ritter, "kommt meine Tochter mit ihren zwei Freundinnen. Aber weil Karneval ist, haben sie ihre - wie sagen die Damen - 'Zweitfrisuren' untereinander ausgetauscht, so dass jetzt keine von ihnen mehr ihre echte Haarfarbe hat!"
   "Und welche von den dreien ist Ihre Tochter?" fragte ich.
   "Tja - " lachte er, "das müssen Sie schon selbst herausfinden - aber bitte, ohne direkt danach zu fragen!" Also fragte ich die mit der wilden schwarzen Mähne:
   "Welche Farbe hat denn Ihr Haar in Wirklichkeit?"
   "Tatsächlich - " antwortete sie, "bin ich rothaarig!"
   "Und wie ist das bei Ihnen?" fragte ich nun die mit den roten Locken.
   "Ich - " sagte die, "bin eigentlich schwarzhaarig!"
   "Ach - " unterbrach uns die Dritte mit den blonden Zöpfen, "die schwindeln doch alle beide: die echte Rothaarige bin nämlich ich!"
   Darauf wusste ich natürlich, welche die Tochter des Ritters war.
2. Auf dem Racker-Ball
   Am nächsten Abend war ich zu einem Racker-Ball eingeladen - was besonders verwirrend war, weil die Racker nicht nur stets das Gegenteil der Wahrheit sagen: sondern es im Karneval oft sogar vortäuschen, indem sich Mädchen als Jungen verkleiden oder umgekehrt (was bei den Rittern nicht erlaubt ist).
   Deshalb sagte ich, als Arm in Arm drei Gestalten in Tanzkleidern auf mich zukamen, die auf den ersten Blick wie hübsche Mädchen aussahen, vorsichtshalber:
   "Seid Ihr nun Mädchen - oder verkleidete Jungen?"
   "Keine Sorge - " lachte die mittlere, "wir sind alle drei richtige Racker-Mädel!"
   "Dann bist also auch Du ein echtes Racker-Mädel?" fragte ich noch mal nach.
   "Ja sicher - das folgt daraus doch logisch!" erwiderte sie.
   "Und was würde Deine Freundin links sagen, wenn ich sie das gleiche frage?"
   "Natürlich auch ja - was denn sonst?!"
   "Und Deine Freundin rechts?"
   "Mann, sind Sie schwer von Begriff - klar würde die genauso ja sagen!"
   Nun wusste ich schon mehr - aber noch nicht genug;
   deshalb wandte ich mich nun direkt an die Linke:
   "Dann kann ich also sicher sein, dass unter Euch kein verkleideter Junge ist?"
   "Selbstverständlich!" kicherte diese.
   "Und würdest Du das gleiche sagen?" fragte ich dann an die Rechte.
   "Selbstverständlich nicht!" rief die entrüstet.
   Damit wusste ich endgültig, was jede der drei war.
3. Ein Maskenscherz
   Da ich anscheinend - völlig zu Unrecht - durch solche Episoden in den Ruf eines großen Logikers gekommen war, lud man mich am nächsten Tag zu einem der berühmten "Ratespiele" ein:
   "Dies -", sagte der Spielleiter, ein Ritter, auf einen Herrn und eine Dame weisend, "sind Ihre beiden Partner, die sich - mögen sie nun Ritter oder Racker sein - jedenfalls strikt an die Regeln halten werden; und hier sind zwei weiße und zwei schwarze Masken. Wir werden jetzt das Licht ausschalten, jedem Mitspieler eine dieser Masken aufsetzen - und wenn das Licht wieder angeht, muss jeder versuchen, zu erraten, welche Farbe seine Maske hat!"
   So geschah es - doch als das Licht wieder anging, entdeckte ich zu meinem Schreck, dass man zum Scherz die Augenlöcher meiner Maske verklebt hatte: ich konnte also überhaupt nicht sehen, was für Masken die anderen aufhatten - sondern nur hören, dass der Herr sagte:
   "Ich kann leider nicht herausfinden, welche Farbe meine Maske hat!"
   - worauf die Dame sagte: "Meine Maske ist weiß!"
   Doch dann rief der Herr mir zu: "Vorsicht - sie sagt nie die Wahrheit!"
   - die Dame aber widersprach: "Glauben Sie ihm nicht -
   er ist selbst ein Racker, der stets das Gegenteil der Wahrheit sagt!"
   Zum Glück konnte ich - trotz alledem - die Farbe meiner Maske herausfinden.

(eingesandt von "hwhcerf")

Aufgabe 4: 2 mal 12 Steine

Zwölf schwarze und zwölf weiße Steine sind so im Kreis aufzustellen, dass alle weißen Steine herausfallen und alle schwarzen Steine erhalten bleiben, wenn beim Abzählen jeweils jeder siebente Stein aus dem Kreis heraus geworfen wird.

(eingesandt von Ilona Goldschmidt)

Aufgabe 5: Sven und Angela

Sven und Angela sind jeder zwischen 20 und 30 Jahre alt und haben am gleichen Tag Geburtstag. Sven ist jetzt vier mal so alt, wie Angela war, als er drei mal so alt war, wie Angela war, als er zwei mal so alt wie Angela war.

Wie alt sind die beiden in diesem Jahr?

(eingesandt von Ilona Goldschmidt)

Aufgabe 6: Domino

28 Dominosteine werden so dicht zu einem 7x8-Rechteck zusammengelegt, dass die Konturen verschwinden. Aufgabe ist es jetzt, durch geschicktes Kombinieren das Feld zu entschlüsseln.

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 7: Superzahl

Gesucht ist eine ganze Zahl mit folgenden Eigenschaften:

• Sie muss die vierte Potenz ihrer Quersumme sein.
• Wenn man sie in 3 Gruppen zu je 2 Ziffern zerlegt, muss die Summe der 3 zweistelligen Zahlen auch eine Quadratzahl sein.
• Wenn man sie in umgekehrter Ziffernfolge schreibt und wieder in 3 Gruppen zu je zwei Ziffern zerlegt, muss die Summe dieser 3 zweistelligen Zahlen ebenfalls eine Quadratzahl sein.

(eingesandt von Christian Wolf)

Aufgabe 8: Holz

(eingesandt von Kathrin Bauer)

Aufgabe 9: In Serie

Zahlenreihen: Welches Zahlenpaar (einer inneren Logik folgend) gehört an die Stelle der Fragezeichen? (Ich akzeptiere begründete Lösungen.)

(eingesandt von Ilona Goldschmidt)

Aufgabe 10: Verlorene Operatoren

Fülle die Lücken so mit den passenden Grundrechenzeichen
"+" (Plus) "-" (Minus) "*" (Mal) ":" (Geteilt durch),
dass die Gleichungen a) bis k) erfüllt werden. (Klammern können gesetzt werden.)

(eingesandt von Ilona Goldschmidt)

Lösung

Aufgabe 1: Die brennenden Seile

a. Wenn man die beiden Hälften eines Seiles zusammenlegt und daran das vierfach zusammengelegte andere Seil anschließt, ist das Ganze nach 45 Minuten abgebrannt, nachdem man es an einem Ende angezündet hat.

Aufgabe 2: Buchstaben im Quadrat

Bis auf Symmetrie gibt es nur eine Lösung für die Aufgabe, vier Buchstaben so einzutragen, dass in jeder waagerechten und senkrechten Reihe sowie in den Diagonalen genau ein Buchstabe steht (z. B. A1, B3, C4, D2). Durch Spiegelung und Drehung erhält man insgesamt 8 Lösungen für die Verteilung von vier gleichen Buchstaben.

Bei vier verschiedenen Buchstaben können jeweils die vier Belegungen untereinander ausgetauscht werden, sodass die Anzahl der Lösungen 8*4! = 192 beträgt.

Aufgabe 3: Karneval auf den Inseln

1. Die Tochter des Ritters ist die Rothaarige mit der schwarzen Perücke.
2. ...
3. Meine Maske ist weiß.

Aufgabe 4: 2 mal 12 Steine

1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0

Aufgabe 5: Sven und Angela

Sven und Angela sind in diesem Jahr 24 und 21 Jahre alt.

Aufgabe 6: Domino

Aufgabe 7: Superzahl

Die gesuchte Zahl ist 234256. Ihre Quersumme ist 22 und 22⁴ = 234256. Die Summe der Ziffernpaare und die der Ziffernpaare bei umgekehrter Ziffernfolge ergeben 23+42+56 = 65+24+32 = 121.

Aufgabe 8: Holz

AHORN, WOLLE, FICHTE, EICHE, KASTANIE

BIRNE, APFEL, KIRSCHE, FICHTE, PFLAUME

Aufgabe 9: In Serie

An die Stelle der Fragezeichen gehört b), weil damit die alternierenden Folgen der Neunerreste fortgesetzt werden (oben: 2, 6; unten: 3, 5).

Aufgabe 10: Verlorene Operatoren

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veröffentlicht am 11. Januar 2005, zuletzt geändert am 11. Januar 2006