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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

1. Aufgabe 2005

gestellt am 11. Januar 2005 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Verwirrendes Alter

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Aufgabe

Familientreffen am Neujahrstag und wieder einmal gibt das Alter der Damen Anlass zum Knobeln.
"Wie alt ist denn nun Marie, Großvater?" fragt Tim, der lange Zeit nur sehr lockeren Kontakt zur Familie gehalten hat.
"Also", bemerkte der Großvater "Marie und Anne sind zusammen 44 Jahre alt, und Marie ist jetzt doppelt so alt wie Anne zu der Zeit, als Marie halb so alt war, wie Anne es sein wird, wenn sie drei Mal so alt ist wie Marie, als diese drei Mal so alt war wie Anne."

Wie alt sind Anne und Marie jetzt?

(eingesandt von Sven Guttke)

Lösung

Es seien a0, a1, a2 und a3 bzw. m0, m1, m2 und m3 die Altersangaben von Anne bzw. Marie zu den verschiedenen betrachteten Zeitpunkten, gemäß der Reihenfolge des Auftretens im Aufgabentext. Außerdem sei d die Altersdifferenz von Marie und Anne:
(1) d = m0-a0 = m1-a1 = m2-a2 = m3-a3

Dann ergeben sich aus der Aufgabenstellung die folgenden linearen Gleichungen:
(2a) a0+m0 = 44
(2b) m0 = 2*a1
(2c) m1 = 1/2*a2
(2d) a2 = 3*m3
(2e) m3 = 3*a3

Weil m2 nicht vorkommt, lässt sich a2 eliminieren. Nach Ersetzen der mi durch ai+d ergibt sich das lineare Gleichungssystem
(3a) 2*a0+d = 44
(3b) a0-2*a1+d = 0
(3c) a1-3/2*a3-1/2*d = 0
(3d) -2*a3+d = 0
mit der Lösung
(4a) a0 = 33/2
(4b) a1 = 55/4
(4c) a3 = 11/2
(4d) d = 11

Aus Annes Alter a0 = 16,5 ergibt sich Maries Alter als m0 = a0+d = 27,5.

Antwort

Anne und Marie sind jetzt 16,5 bzw. 27,5 Jahre alt.