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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

10. Aufgabe 2005

gestellt am 5. Dezember 2005 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Durchbohrte Kugeln
Zusatzaufgabe: Domino

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

Durchbohrte Kugeln

Ein Arbeiter stellt auf seiner Drehmaschine Kugeln her. Durch diese Kugeln sind anschließend (zylindrische) Löcher zu bohren, die genau durch den Kugelmittelpunkt gehen und eine Kantenlänge von 12 cm haben.

Wie groß ist das Volumen der durchbohrten Kugel?

(eingesandt von Ingrid Kluge)

Zusatzaufgabe: Domino
(ähnlich wie im Sommerspezial, aber etwas schwieriger zu lösen)

28 Dominosteine werden so dicht zu einem 7x8-Rechteck zusammengelegt, dass die Konturen verschwinden. Aufgabe ist es jetzt, durch geschicktes Kombinieren das Feld zu entschlüsseln.

Finde alle Steine:
12331421
55620061
26044334
13665315
31441066
35065452
22245000

Die Steine können natürlich auch senkrecht oder waagerecht liegen, z.B.:

3
3
33
00

01

02

03

04

05

06

11

12

13

14

15

16

22

23

24

25

26

33

34

35

36

44

45

46

55

56

66

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

Durchbohrte Kugeln

Es seien R der Radius der Kugel, r der Radius des zylindrischen Lochs und h (= 12 cm) die Länge des Lochs. Der restliche Körper mit der Höhe h ist rotationssymmetrisch und hat kreisringförmige Querschnitte.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt für den Außenradius R' der Querschnittsfläche im Abstand s vom Kugelmittelpunkt
(1) R'(s)² = R²-s²
und allgemein gilt
(2) R² = (h/2)²+r²

Die Querschnittsfläche beträgt damit
(3) F(s) = π*R'(s)²-πr² = π*(R²-s²-r²) = π*((h/2)²-s²),
womit sie unabhängig von den Radien der Kugel und des Lochs ist.

Integriert man die Flächenfunktion über die gesamte Höhe h, erhält man das Volumen des Restkörpers, das auch unabhängig von den Radien ist. Es stimmt auch überein mit dem Grenzwert des Volumens, wenn der Lochradius r gegen 0 und gleichzeitig R gegen h/2 strebt:
(4) V = lim(4/3*π*R3; r→0) = 4/3*π*(h/2)3 ~ 905cm3

Zusatzaufgabe: Domino

Durch Probieren und Kombinieren erhält man die unten skizzierte Lösung.

Antwort

Durchbohrte Kugeln

Das Volumen der durchbohrten Kugel ist 905 cm3.

Zusatzaufgabe: Domino

12331421
55620061
26044334
13665315
31441066
35065452
22245000