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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

3. Aufgabe 2005

gestellt am 10. März 2005 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Zahlenreihe mit "Loch"

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Aufgabe

Die Summe der Folge:

13 + 23 + 33 + ... + n3
ergibt eine 21-stellige Zahl.

Von dieser Summe sind allerdings nur die ersten drei und die letzten drei Stellen bekannt. Sie sieht folgendermaßen aus: 310...............321 (insgesamt 21 Ziffern).

Mit diesen Angaben soll das letzte Glied (n) der obigen Folge rekonstruiert werden.

(eingesandt von Lutz Locker)

Lösung

Die Reihe aus den dritten Potenzen der natürlichen Zahlen lässt sich als Quadrat einer Dreieckszahl schreiben:
(1) Sn = Summe(k3; k=1..n) = (n(n+1)/2)2
Dies kann mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen werden.

Damit ergibt sich eine Abschätzung für das gesuchte n:
(2) 3,10*1020 ≤ (n(n+1)/2)2 < 3,11*1020,
und nach Umformung die leicht großzügigere Abschätzung
(3) 187652 < n < 187804.

Unter den Reihenwerten zu den 151 natürlichen Zahlen innerhalb dieses Intervalls gibt es genau eine mit den Endziffern 321:
(4) S187666 = 310.089.475.472.083.627.321

Antwort

Das letzte Glied der Reihe ist 1876663.