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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

4. Aufgabe 2005

gestellt am 11. April 2005 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Winzerlehrlings Klage

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Aufgabe

Fässer drei ich füllt mit Wein,
schrieb die Liter auf den Stein.
Nicht in Zahlen, wie es Brauch -
Buchstaben, die taten's auch:
"ROT", schrieb ich zum größten Fass.
Ich gesteh: Es war ein Spaß.

Dann, die Zeichen in dem Wort,
stellt ich um und so ging's fort,
bei den Fässern hinterher. -
Letztes Fass war nicht so schwer.
Und - kein Zeichen sich befand,
wo im Trio es mal stand!

Gestern war der Winzer hier,
lachte zu dem Spaß von mir:
"Stell' nun gleiche Mengen her,
denn die Fässer fassen mehr!
Schließlich muss zum roten Wein,
später noch etwas hinein.

Schreib zuletzt mit Kreide hin,
was im Fasse ist darin. -
Gleich kommt meine Putzfrau her,
dass sie wische und auch noch kehr.
Tschüss! - Ich muss zum Weinberg raus,
führe nun den Auftrag aus!" -

So der Winzer ging von mir,
als er zur Besprechung hier.
Doch - die Putzfrau wischte weg
meine Zahlen von dem Fleck.
Eines ist mir dennoch klar,
ihre Summe sechzehn war.

Weiß nicht mehr, was kam hinein
in die Fässer groß und klein!
Ach, - wie dumm war doch mein Spaß!
Wer hilft mir? Wer weiß etwas?
Wer sieht hier beim Weine rot -
einen Weg aus meiner Not?

F R A G E: Wie schafft es der Lehrling mit nur einmal Umfüllen die Forderung des Winzers nach 3 gleich vollen Fässern zu erfüllen?

(eingesandt von Josef Eberhardt)

Lösung

Die drei Buchstaben von ROT stehen für die Ziffern einer dreistelligen Dezimalzahl. In den Liter-Zahlen aller drei Fässer stehen die Ziffern jeweils an verschiedenen Stellen. Bei den Permutationen, die beschreiben, wie die beiden übrigen Zahlen aus der ersten hervorgehen, handelt es sich also um Rotationen.

Es seien a, b und c die gesuchten Ziffern und (abc)10 die mittlere der drei Zahlen. Es ist bekannt, dass die Ziffern nicht gleich sind, weil sonst die Fässer alle gleich voll wären.

Wenn der Lehrling die Füllmengen der Fässer mit einem einfachen Umfüllvorgang angleichen kann, bedeutet dies, dass das vollste Fass um so viel mehr Rotwein als das mittlere enthält wie das mittlere mehr als das am wenigsten gefüllte enthält:
(1) (cab)10-(abc)10 = (abc)10-(bca)10
Ist (cab)10 die Liter-Zahl des vollsten Fasses, sind die Differenzen positiv, im anderen Fall, dass das vollste Fass (bca)10 Liter enthält, negativ.

Nach Umformung folgt daraus:
(2) -90a-9b+99c = 99a-90b-9c
oder vereinfacht:
(3) 7a-3b-4c = 0

Ersetzt man in den Differenzen von (1) eine der Variablen durch einen Ausdruck der beiden anderen, z.B. a durch (3b+4c)/7, so findet man:
(4) (cab)10-(abc)10 = -90a-9b+99c = -90*(3b+4c)/7-9b+99c = 333/7*(c-b)
Die Differenzen der Füllmengen sind also durch 333 teilbar und, weil die doppelte Differenz dreistellig ist, nicht größer als 333. Bei jeder der im Folgenden dargestellten Lösungen enthält das erste Fass 333 Liter mehr als das zweite und das zweite Fass 333 Liter mehr als das dritte.

1. Fass2. Fass3. FassQuersumme
703 l370 l037 l10
740 l407 l074 l11
814 l481 l148 l13
851 l518 l185 l14
925 l592 l259 l16
962 l629 l296 l17

Antwort

Die Fässer enthalten 925, 592 und 259 Liter Rotwein. Der Lehrling kann gleiche Mengen herstellen, indem er 333 Liter aus dem ersten Fass ins letzte Fass füllt.