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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

8. Aufgabe 2005

gestellt am 12. Oktober 2005 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Kleine Wette

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Mir wurde folgende Wette angeboten:

Finde für die folgende Gleichung
X = 9n + 8n - 2n - 1n   mit   n = 1, 2, 3, ...
eine natürliche Zahl n, für die X nicht durch 14 teilbar ist, und ich spendiere einen Kasten Bier.

Sofort habe ich mit den ersten Zahlen begonnen, aber ich war nicht erfolgreich:

n X
1 14
2 140
3 1232

Wer kann mir Zahlen nennen, mit denen ich die Wette gewinnen kann (oder beweisen, dass ich keine Chance habe)?

(eingesandt von Lutz Locker)

Lösung

Es wird gezeigt, dass xn = 9n+8n-2n-1n für alle natürliche Zahlen n durch 14 teilbar ist.

xn ist durch 2 teilbar:
(1) xn = 9n + 8n - 2n - 1n
       ≡ 1n + 0n - 0n - 1n (mod 2)
       = 1 + 0 - 0 - 1
       = 0

xn ist durch 7 teilbar:
(2) xn = 9n - 2n + 8n - 1n
       = (7+2)n - 2n + (7+1)n - 1n
       = Summe(p(n,k)*7k*2n-k; k=0..n) - 2n + Summe(p(n,k)*7k*1n-k; k=0..n) - 1n
       ≡ p(n,0)*70*2n-0 - 2n + p(n,0)*70*1n-0 - 1n (mod 7)
       = 1*1*2n - 2n + 1*1*1n - 1n
       = 0

Hierbei bezeichnet p(n,k) den Binomialkoeffizienten n!/(k!*(n-k)!). Alle außer die jeweils ersten Summenglieder sind durch 7 teilbar.