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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

7. Aufgabe 2006

gestellt am 16. Juli 2006 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Sommer-Mix

Aufgabe	Lösung

Aufgabe

Aufgabe 1: Durst

Familie Seemann hat eine Yacht gemietet und startet zu einer Mittelmeerkreuzfahrt. An Bord ist ausreichend Nahrung, und auch ein gewisser Wasservorrat. Der reicht für den Mann (alleine) 9 Tage, für seine Frau (alleine) 12 Tage und für sein Kind (alleine) 18 Tage.

Wie viele Tage reicht der Vorrat an Trinkwasser, da alle 3 die Kreuzfahrt unternehmen wollen?

(eingesandt von Horst Wilke)

Aufgabe 2: Schach

Am Sommer-Schach-Turnier nahmen nur 8 Spieler teil. Um den Sieger zu ermitteln galten folgende Regeln: Jeder spielt gegen jeden (genau ein mal), jeder Sieg ergibt einen Punkt und jedes Remis je einen halben Punkt.

Bei der Auswertung zeigte sich, dass alle Teilnehmer unterschiedliche Punktzahlen erreicht hatten. Der Zweitplatzierte hatte alleine genau so viele Punkte, wie die letzten vier zusammen.

Wie lautet das Ergebnis der Partie, die der Drittplatzierte gegen den Sechstplatzierten gespielt hat?

(eingesandt von Ilona Goldschmidt)

Aufgabe 3: Zahlenmauer

Bei zwei nebeneinander stehenden Zahlen erhält man die Zahl für den darunter liegenden Mauerstein so: Man subtrahiert von der links stehenden Zahl den rechten Nachbarn.

Vervollständige die Zahlenmauer:

    | 43 | ? | ? | 8 |
       | ? | ? | ? |
         | 8 | ? |
           | 5 |

(eingesandt von Jürgen Michalke)

Aufgabe 4: Fahrplan

Ein Mann hat zwei Freundinnen, die nichts voneinander wissen. Die eine Freundin wohnt in "Südstadt" die andere in "Nordende". Der Mann wohnt irgendwo dazwischen, und die Straßenbahn, die Südstadt und Nordende verbindet, hält in der Nähe seiner Wohnung. Die Bahn fährt im 10-Minuten-Takt (natürlich sind mehrere Straßenbahnen auf dieser Linie unterwegs und die Bahn fährt zweigleisig - auf einem Gleis hin, auf dem anderen zurück.)

Der Mann denkt sich: "Ich überlasse es einfach dem Zufall welche Freundin ich heute besuche und weil ich nicht lange warten will, nehme ich die erste Bahn, die hält." Immer wenn er Zeit hat, das ist immer zu unterschiedlichen Zeiten, macht er es ebenso, er geht zur Haltestelle und steigt in die Straßenbahn ein, die zuerst kommt.

Nach einer Weile bekommt er staunend mit, dass er in 9 von 10 Fällen zur Freundin nach Nordende fährt!

Wieso?

(eingesandt von Ilona Goldschmidt)

Aufgabe 5: Wasserspiegel

Zwei Piraten haben einen Klumpen Gold gefunden, laden ihn in ihr Boot und rudern über den See nach Hause. Wie es so ist bei Piraten; mitten auf dem See bekommen sie Streit und der Goldklumpen fällt über Bord und die beiden Piraten im Boot haben das Nachsehen.

Was passiert mit dem Wasserspiegel (steigt - fällt - bleibt gleich) und warum?

(eingesandt von Ilona Goldschmidt)

Aufgabe 6: Hölzchen

Gegeben ist folgende Streichholz (Un-)Gleichung;

 __     __         __   __
|__     __|   __  |__   __|  -   |
|__|   |__        |__|  __|  -   |

Durch Verschieben (Umlegen) eines einzigen Streichholzes erhält man aber eine korrekte Gleichung.

Was ist zu tun?

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 7: Turmspaziergang

Tom und Klaus, zwei leidenschaftliche Schachspieler, suchen das Schachspiel, finden aber nur das Schachbrett und einen Turm. "Damit können wir nichts anfangen", sagt Klaus. Doch Tom fällt etwas ein; kürzlich hat ihm sein Mathelehrer eine Knobelaufgabe gestellt, die er noch lösen wollte:

Ein Zug des Turmes auf dem Schachbrett verläuft - wie beim Schach - entweder in einer waagerechten oder in einer senkrechten Reihe, jeweils beliebig weit. Eine Zugfolge besteht aus einer Reihe von aufeinander folgenden Zügen (Endfeld eines Zuges ist Startfeld des folgenden Zuges). Alle bei einer Zugfolge überschrittenen Felder (einschließlich der Start- und Endfelder der Züge) gelten als berührt.

Aufgabe: Der Turm soll in der linken oberen Ecke des Schachbrettes starten und durch eine Zugfolge die rechte untere Ecke des Schachbrettes erreichen.

"Das ist doch kein Problem, das mache ich mit zwei Zügen", sagt Klaus, doch Tom ist noch nicht fertig.

Tom erklärt, dass die Aufgabe darin besteht, eine Zugfolge (Start links oben, Ende rechts unten) mit möglichst wenigen Zügen zu finden, bei der jedes Feld des (8x8 Felder großen) Schachbrettes genau einmal berührt wird.

Also, wie viele Züge sind mindestens notwendig, um die gestellten Bedingungen zu erfüllen?

Klaus und Tom machen sich ans Knobeln. Jeder möchte das Schachbrett um zu probieren. Nach einer Weile gibt Klaus auf: "Vielleicht geht das ja gar nicht!"

Tom: "Kann sein, ich habe keine Ahnung, aber das muss man doch rauskriegen!" Und Tom kriegt es raus.

Zu welcher Lösung kommt er?

(eingesandt von Hannfried Zuegge)

Aufgabe 8: Zahlenketten (Finde die kleinste unendliche Zahl!)

Eine Autonummer (also eine max. 4-stellige Zahl) wird in ihre einzelnen Ziffern zerlegt und benachbarte Ziffern werden addiert, so dass eine neue Zahl entsteht.

Wir stellten fest, dass die meisten Zahlen am Ende ein einstelliges Ergebnis auswerfen.
z.B. 2863 → 2+8 8+6 6+3 → 10 14 9 → 10149 → 11513 → 2664 → 81210 → 9331 → 1264 → 3810 → 1191 → 21010 → 3111 → 422 → 64 → 10 → 1

Es kann sich aber auch eine endlose periodische Kette ergeben:
z.B.: 996 → 1815 → 996

 9       9       6
   \ + /   \ + /
    18       15
  /  |       |  \
 1   8       1   5
  \+/  \ + /  \+/
   9     9     6
usw.

Oder die Folge steigt ins Unendliche:
z.B.:
8888 → 161616 → 77777 → 14141414 → 5555555 →
101010101010 → 11111111111 → 2222222222 →
444444444 → 88888888
usw.

Aufgabe:

1. Finde die kleinste periodische Zahl!
2. Finde die kleinste unendliche Zahl!

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 9: In Serie

1. Zur Einführung:

   Vervollständige die (unendliche) Zahlenfolge sinnvoll um die nächsten 2 Glieder:

   2, 5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, 100, ...

2. Zum Knobeln:

   Bei archäologischen Ausgrabungen im Pelepones wurden vier Tafeln gefunden, die mit seltsamen schwarzen Vierecken verziert waren:

   

   Handelt es sich etwa um ein lochkartenähnliches Kryptogramm außerirdischer Intelligenz oder was wollte der Künstler uns damit sagen?

   Wo hat sich ein Fehler eingeschlichen?

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 10: Sudoku

In jede Zeile, Spalte oder 3x3-Feld sind die Ziffern von 1 bis 9 so einzusetzen, dass jede Ziffer genau ein mal vorkommt.

Gute Rätsel zeichnen sich dadurch aus, dass sich alle fehlenden Zahlen logisch erschließen (also, es ist kein Probieren notwendig).

Fülle die fehlenden Kästchen aus!

(eingesandt von Ingrid Kluge)

Lösung

Aufgabe 1: Durst

Der Mann verbraucht täglich 1/9 des Wasservorrats, seine Frau 1/12 und sein Kind 1/18, was zusammen 1/4 beträgt. Der Trinkwasservorrat reicht also für 4 Tage.

Aufgabe 2: Schach

Jeder Spieler hat gegen 7 Gegner gespielt und dabei höchstens 7 Punkte erlangt. Der Zweitplatzierte hat höchstens 6 Punkte erzielt, denn hätte er mindestens 6,5 Punkte, dann hätte der Erste mit davon verschiedener Punktzahl 7 Punkte und beide zusammen nur einen halben Punkt verloren, obwohl sie gegeneinander gespielt haben. Weil allein schon für die 6 Spiele der letzten vier untereinander insgesamt 6 Punkte vergeben wurden, hat niemand von diesen Spielern gegen einen der ersten vier Spieler unentschieden gespielt oder gewonnen. Insbesondere hat der Drittplatzierte den Sechstplatzierten besiegt.

Aufgabe 3: Zahlenmauer

Durch Lösen eines kleinen linearen Gleichungssystems erhält man die fehlenden Zahlen:

    | 43 | 25 | 15 | 8 |
       | 18 | 10 | 7 |
         | 8 | 3 |
           | 5 |

Aufgabe 4: Fahrplan

In durchschnittlich 9 von 10 Fällen trifft der Mann an der Haltestelle ein, wenn zuletzt eine Bahn nach Süden gefahren ist und die nächste nach Norden fährt. In den anderen Fällen kommt als nächstes eine Bahn, die in Richtung Süden fährt. Vorausgesetzt, dass die Bahnen pünktlich fahren, ist dies dann der Fall, wenn nach dem Fahrplan die Bahn nach Süden immer genau eine Minute später fährt als die nach Norden.

Aufgabe 5: Wasserspiegel

So lange der Goldklumpen im Boot ist, verdrängt das Boot zusätzlich so viel Volumen unterhalb der Wasseroberfläche, wie Wasser mit dem selben Gewicht wie der Goldklumpen einnehmen würde. Liegt das Gold auf dem Seegrund, verdrängt es nur sein eigenes Volumen, das wegen der größeren Dichte als die des Wassers, kleiner ist. Damit sinkt theoretisch der Wasserspiegel, wenn der Klumpen ins Wasser fällt. Praktisch dürfte der unterschiedliche Wasserspiegel wegen der großen und bewegten Wasseroberfläche sowie der Fluktuation des Wassers nicht messbar sein.

Aufgabe 6: Hölzchen

Wären die Linien des Minus- und des Gleichheitszeichens gleich lang und würde man die vertikale Position der Rechenzeichen nicht ganz genau nehmen, könnte man ein Hölzchen vom Gleichheitszeichen über oder unter das Minuszeichen legen und erhielte dabei folgende richtige Gleichung:

62 = 63 − 1

Aufgabe 7: Turmspaziergang

Der Turm berührt während seines ganzen Weges über das Schachbrett immer abwechselnd weiße und schwarze Felder. Führt der Weg über das ganze Schachbrett (mit gerader Anzahl von Feldern), unterscheidet sich die Farbe des letzten Feldes von der des ersten Feldes. Weil die Farben der diagonal gegenüber liegenden linken oberen und rechten unteren Eckfelder gleich sind, ist zwischen ihnen ein solcher Turmspaziergang nicht möglich.

Aufgabe 8: Zahlenketten (Finde die kleinste unendliche Zahl!)

1. Die kleinste periodische Zahl ist 991: 991 → 1810 → 991 ...
2. Die kleinste unendliche Zahl ist 1496: 1496 → 51315 → 6446 → 10810 → 1891 → 91710 → 10881 → 18169 → 99715 → 181686 → 9971414 → 18168555 → 99714131010 → 181685544111 → 99714131098522 → 18168554419171374 ...

Aufgabe 9: In Serie

1. Die Differenzen jeweils aufeinanderfolgender Folgenglieder bilden die Folge der ungeraden Primzahlen.

   2, 5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, 100, 129, 160, ...

    3, 5,  7, 11, 13, 17, 19, 23,  29,  31, ...

2. Stellt man sich die ersten und nächsten jeweils 100 natürlichen Zahlen fortlaufend in Zehnerreihen formatiert vor, dann markieren die schwarzen Stellen die Primzahlen:

   1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
   21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
   31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
   41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
   51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
   61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
   71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
   81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
   91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

   101	102	103	104	105	106	107	108	109	110
   111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
   121	122	123	124	125	126	127	128	129	130
   131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
   141	142	143	144	145	146	147	148	149	150
   151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
   161	162	163	164	165	166	167	168	169	170
   171	172	173	174	175	176	177	178	179	180
   181	182	183	184	185	186	187	188	189	190
   191	192	193	194	195	196	197	198	199	200

   201	202	203	204	205	206	207	208	209	210
   211	212	213	214	215	216	217	218	219	220
   221	222	223	224	225	226	227	228	229	230
   231	232	233	234	235	236	237	238	239	240
   241	242	243	244	245	246	247	248	249	250
   251	252	253	254	255	256	257	258	259	260
   261	262	263	264	265	266	267	268	269	270
   271	272	273	274	275	276	277	278	279	280
   281	282	283	284	285	286	287	288	289	290
   291	292	293	294	295	296	297	298	299	300

   301	302	303	304	305	306	307	308	309	310
   311	312	313	314	315	316	317	318	319	320
   321	322	323	324	325	326	327	328	329	330
   331	332	333	334	335	336	337	338	339	340
   341	342	343	344	345	346	347	348	349	350
   351	352	353	354	355	356	357	358	359	360
   361	362	363	364	365	366	367	368	369	370
   371	372	373	374	375	376	377	378	379	380
   381	382	383	384	385	386	387	388	389	390
   391	392	393	394	395	396	397	398	399	400

   
   

   Auf den vorgelegten Tafeln sind fälschlicherweise 287 (rechte untere Tafel) und 377 statt 379 (rechte obere Tafel) als prim markiert.

Aufgabe 10: Sudoku

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veröffentlicht am 11. Januar 2006, zuletzt geändert am 2. Januar 2007