Vorherige Aufgabe   Übersicht 2006   Nächste Aufgabe 

Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

1. Aufgabe 2006

gestellt am 11. Januar 2006 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Die Amnestie des Königs

  Aufgabe   Lösung   Antwort 

Aufgabe

Es lebte einmal vor langer Zeit in einem fernen Land ein König, der ein modernes Gefängnis bauen ließ, in dem er bis zu 1800 politische Gegner in Einzelhaft unterbringen konnte. Als das Gefängnis einige Jahre später voll belegt war, dachte er bei sich, er könne als Akt der Gnade einigen Gefangenen die Freiheit schenken; aber wem?

Der König dachte, er könne sich das Zufallsprinzip zu Nutze machen und gab dem königlichen Kerkermeister Anweisung, wie diese Teilamnestie durchzuführen sei.

Er solle an den Zellentüren vorbei gehen und beim 1. Durchgang jede Zelle lautlos entriegeln, beim 2. Durchgang jeder 2. Tür (also Tür 2, 4, 6, ...) den Riegel wieder vorschieben, beim 3. Durchgang die Riegel jeder 3. Türe umlegen (also öffnen oder schließen - je nach dem), bis er beim letzten Durchgang nur noch den 1800. Riegel umlegen muss. Er solle dies deshalb so leise tun, damit keiner der Gefangenen die vorübergehende Öffnung der eigenen Zelle bemerke, er würde mit seinem Leben dafür haften.

Nun hatte der arme Kerkermeister viel Arbeit vor sich, wusste er doch, dass er bei seinem weitläufigen Rundgang für die ca. 3 Kilometer lange Strecke bei zügigem Tempo ziemlich genau 42 Minuten benötigen würde.

Das Betätigen des geheimen Verschlussmechanismus kostet ihn zwar keine Zeit, ist aber so laut, dass er sich sicher war, dass er sein Leben damit verwirken würde, denn jeder Gefangene würde bereits beim ersten Durchgang durch den entstehenden Lärm die Öffnung der eigenen Zelle bemerken. So würde er die Riegel per Hand umlegen müssen, und zwar so leise, dass er dafür durchschnittlich 10 Sekunden benötigt.

Da der Kerkermeister reichlich übergewichtig, aber ziemlich fit im Kopf war, fand er nach einer durchgrübelten Nacht eine geniale Lösung.

  1. Wie viele Gefangene konnten letztlich von der Amnestie des Königs profitieren?
  2. Wie lange musste der arme Kerkermeister arbeiten?

(eingesandt von Herbert Nell)

Lösung

Der Kerkermeister sollte so viele Rundgänge machen, wie es Türen gab, und bei jedem Rundgang die Riegel solcher Türen umlegen, deren Nummern Vielfache der Nummer des Rundgangs waren. Der Riegel jeder Tür war also dann umzulegen, wenn ihre Nummer ein Teiler der Rundgangsnummer war. Weil ein zweimaliges Umlegen den Zustand eines Riegels nicht ändert, sind bei diesem Verfahren am Ende genau die Türen offen, deren Nummern eine ungeradzahlige Anzahl von Teilern besitzen.

Zu jedem Teiler einer natürlichen Zahl gibt es einen bestimmten Komplementärteiler und von beiden ist einer höchstens und der andere mindestens so groß wie die Wurzel der Zahl. Die Menge der Teiler einer Zahl zerfällt in disjunkte Paare von Komplementärteilern und möglicherweise einer einelementigen Menge, nämlich dann, wenn ein Teiler zu sich selbst komplementär ist. In diesem Fall handelt es sich um die Wurzel und die Ausgangszahl ist damit eine Quadratzahl.

Die Türen, die am Ende offen sein sollten, waren die mit Quadratzahlen als Nummer. Unter 1800 gibt es 42 von ihnen und die Zeit, die der Kerkermeister für seine Arbeit brauchte, wenn er vorher wusste, welche Türen letztlich zu öffnen waren, setzte sich zusammen aus der Zeit für den Rundgang von 42 Minuten und der Zeit zum Öffnen der 42 Türen von je 10 Sekunden.

Antwort

  1. Von der Amnestie profitierten 42 Gefangene.
  2. Der Kerkermeister musste 49 Minuten lang arbeiten.