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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

3. Aufgabe 2006

gestellt am 15. März 2006 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Tückischer Vermieter

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Aufgabe

Vermieter haben schon seltsame Vorlieben. Neulich erklärte mir einer, dass er das Zimmer nur noch an den Studenten vermietet, der ihm genau sagen kann, wie groß das Zimmer ist, ohne dass er ihm auch nur die Länge einer Wand verrät.

Da ich das verwinkelte Zimmer kenne, war ich skeptisch. Aber nachdem der alte Fuchs mir gesagt hatte, dass die 4 Wände zwar alle verschieden lang sind, aber jede eine ganzzahlige Meterzahl besitzt und das Zimmer sogar zwei rechte Winkel hat, die gegenüber liegen, fand ich seinen Eignungstest eher amüsant und bin überzeugt, dass er nicht lange auf einen geeigneten Mieter warten muss.

Wie groß ist das Zimmer, wenn der kleinstmögliche Wert gesucht ist?

(eingesandt von Thommy)

Lösung

Der Grundriss des Zimmers zerfällt in zwei rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenusen zusammenfallen und deren Katheten die vier verschieden langen Zimmerseiten bilden. Wegen des Satzes des Pythagoras lässt sich das ganzzahlige Hypotenusenquadrat auf zwei verschiedene Weisen als Summe zweier Quadratzahlen darstellen. Die kleinste Zahl, bei der vier verschiedene Quadratzahlen beteiligt sind, ist
(1) 65 = 1²+8² = 4²+7².

Die Fläche des Vierecks beträgt 18 m²:
(2) F = 1*8/2+4*7/2 = 18,
während die Fläche des nächstgrößeren Zahl mit der oben genannten Eigenschaft
(3) 145 = 1²+12² = 8²+9²
schon 42 m² beträgt:
(4) F' = 1*12/2+8*9/2 = 42.

Antwort

Das kleinstmögliche Zimmer mit der gewünschten Eigenschaft ist 18 m² groß.