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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

4. Aufgabe 2006

gestellt am 4. April 2006 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Zahlenkolonne

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Eine Folge von Ziffern beginnt mit 2, 7.

Dann werden der Reihe nach die aufeinander folgenden Elemente miteinander multipliziert und die Ziffern des Produkts an die Folge angehängt:

2, 7

2, 7, 1, 4               da 2*7=14

2, 7, 1, 4, 7            da 7*1= 7

2, 7, 1, 4, 7, 4         da 1*4= 4

2, 7, 1, 4, 7, 4, 2, 8   da 4*7=28

und so weiter.

Zeige: Die Ziffer 6 taucht in dieser Folge unendlich oft auf!

(eingesandt von Christian Krause)

Lösung

Die ersten 1000 Ziffern dieser Folge sind:
2 7 1 4 7 4 2 8 2 8 8 1 6 1 6 1 6 6 4 8 6 6 6 6 6 3 6 2 4 3 2 4 8 3 6 3 6 3 6 3 6 1 8 1 8 1 2 8 1 2 6 8 3 2 2 4 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 6 8 8 8 8 2 1 6 8 2 1 2 4 8 2 4 6 4 8 4 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 4 8 4 8 6 4 6 4 6 4 1 6 2 6 4 8 1 6 2 2 8 3 2 1 6 8 2 4 2 4 3 2 3 2 3 2 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 3 2 3 2 3 2 3 2 4 8 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 4 6 1 2 1 2 2 4 3 2 8 6 1 2 4 1 6 2 4 6 2 6 4 8 1 6 8 8 8 1 2 6 6 6 6 6 1 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 2 6 6 6 6 6 6 6 8 3 2 1 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 1 6 2 4 6 2 2 2 4 8 1 2 6 1 6 4 8 6 2 8 4 6 1 2 8 2 4 1 2 1 2 2 4 3 2 8 6 4 8 6 4 6 4 8 2 1 2 3 6 3 6 3 6 3 6 6 2 4 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 4 2 1 2 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 4 8 2 4 6 2 6 4 8 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 8 6 1 2 8 2 4 1 2 4 4 8 3 2 8 2 1 2 6 6 2 4 3 2 4 8 1 2 1 6 3 2 2 4 6 2 1 6 1 6 8 4 2 2 2 4 8 1 2 6 1 6 4 8 2 4 3 2 4 8 2 4 2 4 2 4 3 2 1 6 2 2 6 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 3 6 1 2 8 3 2 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 3 2 8 2 2 6 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 2 4 3 2 1 6 8 2 4 1 2 1 2 2 4 3 2 4 8 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 3 2 4 8 6 2 1 6 1 6 8 4 2 8 1 6 3 2 2 4 6 1 6 1 6 2 2 1 2 3 6 1 2 8 1 2 6 8 3 2 8 2 2 6 1 8 6 4 8 2 4 1 2 2 6 6 6 4 8 3 2 8 4 4 8 3 2 8 2 1 2 6 6 2 4 3 2 1 6 8 1 2 6 8 3 2 1 6 8 8 8 8 8 1 2 6 2 6 1 2 4 1 2 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 2 4 1 8 6 2 1 6 2 4 6 1 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 2 6 1 6 1 6 4 1 2 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 1 6 8 1 2 6 2 6 4 8 1 6 8 4 2 2 2 4 8 1 2 6 8 3 2 1 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 1 2 6 8 3 2 4 8 1 2 2 6 6 6 4 8 3 2 8 1 6 8 6 1 8 6 4 8 2 4 6 6 6 6 1 2 4 2 2 6 1 8 6 2 1 6 8 2 1 2 4 8 2 4 6 1 6 1 6 4 1 2 6 8 4 8 2 4 3 2 1 6 8 4 2 4 1 2 3 6 3 6 2 4 3 2 2 4 6 1 6 3 2 1 6 3 2 2 4 6 1 6 1 6 2 2 1 2 3 6 1 2 8 1 2 6 2 6 4 8 8 2 1 2 4 8 2 4 6 2 6 4 8 6 4 6 4 6 4 6 4 8 2 1 2 1 2 1 2 6 2 8 4 2 1 2 4 8 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 1 6 8 4 8 4 8 1 2 2 6 1 2 8 2 4 6 2 4 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 4 2 1 2 6

Die Schreibweise a{b} bezeichne eine Teilfolge, in der die Ziffern, aus denen a besteht, so oft hintereinander wiederholt werden, wie b angibt.

Das vierte bis sechte Element bilden die Teilfolge 474{1}. Durch paarweises Multiplizieren aufeinanderfolgender Folgenglieder (4*7 = 28 und 7*4 = 28) entsteht hieraus die Teilfolge 28{2}. Wiederholt man diesen Vorgang, entstehen die weiteren Teilfolgen 16{3}, 6{5}, 36{4}, 18{7}, 8{13}, 64{12}, 24{23} und 8{45}. Teilfolgen aus 8, 64 und 24 wiederholen sich in dieser Reihenfolge unendlich oft mit dabei wachsenden Längen. Die Ziffern 2, 4, 6 und 8 tauchen also unendlich oft auf.