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Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

5. Aufgabe 2006

gestellt am 8. Mai 2006 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Früchtecocktail

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Aufgabe

Der coole Klaus kaufte für eine Öko-Party 123 Früchte (und zwar Bananen, Mangos und Ananas) für zusammen genau 456 Euro.

Bananen kosteten ihn dabei je Exemplar 1 2/3 Euro, Mangos 4 5/6 Euro und Ananas 7 8/9 Euro (auf der Basis geschickter Verhandlungsführung).

Wie viele Früchte von jeder Sorte hat er also gekauft?

(eingesandt von Franjo Schulte)

Lösung

Es seien b, m und a die Anzahlen von Bananen, Mangos bzw. Äpfeln, die Klaus kaufte. Die beiden Aussagen über die Gesamtzahl und den Gesamtpreis bilden ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten.
(1) b+m+a = 123
(2) 5/3*b+29/6*m+71/9*a = 456

Nach Auflösen der ersten Gleichung nach b und Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt sich
(3) 5/3*(123-m-a)+29/6*m+71/9*a = 456
und nach Vereinfachung durch Multiplikation mit 18 und Zusammenfassung
(4) 57*m+112*a = 4518

Als einzige Lösung mit ganzzahligen positiven Werten für m und a findet man, beispielsweise durch systematisches Ausprobieren
(5) m = 38, a = 21, b = 123-m-a = 64

Antwort

Klaus hat 64 Bananen, 38 Mangos und 21 Ananas gekauft.