Vorherige Aufgabe   Übersicht 2006   Nächste Aufgabe 

Lösungen der DENKmal-Knobelaufgaben

7. Aufgabe 2006

gestellt am 16. Juli 2006 in der Knobelecke von
Abenteuer Mathematik - die Welt des Knobelns

Sommer-Mix

  Aufgabe   Lösung 

Aufgabe

Aufgabe 1: Durst

Familie Seemann hat eine Yacht gemietet und startet zu einer Mittelmeerkreuzfahrt. An Bord ist ausreichend Nahrung, und auch ein gewisser Wasservorrat. Der reicht für den Mann (alleine) 9 Tage, für seine Frau (alleine) 12 Tage und für sein Kind (alleine) 18 Tage.

Wie viele Tage reicht der Vorrat an Trinkwasser, da alle 3 die Kreuzfahrt unternehmen wollen?

(eingesandt von Horst Wilke)

Aufgabe 2: Schach

Am Sommer-Schach-Turnier nahmen nur 8 Spieler teil. Um den Sieger zu ermitteln galten folgende Regeln: Jeder spielt gegen jeden (genau ein mal), jeder Sieg ergibt einen Punkt und jedes Remis je einen halben Punkt.

Bei der Auswertung zeigte sich, dass alle Teilnehmer unterschiedliche Punktzahlen erreicht hatten. Der Zweitplatzierte hatte alleine genau so viele Punkte, wie die letzten vier zusammen.

Wie lautet das Ergebnis der Partie, die der Drittplatzierte gegen den Sechstplatzierten gespielt hat?

(eingesandt von Ilona Goldschmidt)

Aufgabe 3: Zahlenmauer

Bei zwei nebeneinander stehenden Zahlen erhält man die Zahl für den darunter liegenden Mauerstein so: Man subtrahiert von der links stehenden Zahl den rechten Nachbarn.

Vervollständige die Zahlenmauer:

    | 43 | ? | ? | 8 |
       | ? | ? | ? |
         | 8 | ? |
           | 5 |

(eingesandt von Jürgen Michalke)

Aufgabe 4: Fahrplan

Ein Mann hat zwei Freundinnen, die nichts voneinander wissen. Die eine Freundin wohnt in "Südstadt" die andere in "Nordende". Der Mann wohnt irgendwo dazwischen, und die Straßenbahn, die Südstadt und Nordende verbindet, hält in der Nähe seiner Wohnung. Die Bahn fährt im 10-Minuten-Takt (natürlich sind mehrere Straßenbahnen auf dieser Linie unterwegs und die Bahn fährt zweigleisig - auf einem Gleis hin, auf dem anderen zurück.)

Der Mann denkt sich: "Ich überlasse es einfach dem Zufall welche Freundin ich heute besuche und weil ich nicht lange warten will, nehme ich die erste Bahn, die hält." Immer wenn er Zeit hat, das ist immer zu unterschiedlichen Zeiten, macht er es ebenso, er geht zur Haltestelle und steigt in die Straßenbahn ein, die zuerst kommt.

Nach einer Weile bekommt er staunend mit, dass er in 9 von 10 Fällen zur Freundin nach Nordende fährt!

Wieso?

(eingesandt von Ilona Goldschmidt)

Aufgabe 5: Wasserspiegel

Zwei Piraten haben einen Klumpen Gold gefunden, laden ihn in ihr Boot und rudern über den See nach Hause. Wie es so ist bei Piraten; mitten auf dem See bekommen sie Streit und der Goldklumpen fällt über Bord und die beiden Piraten im Boot haben das Nachsehen.

Was passiert mit dem Wasserspiegel (steigt - fällt - bleibt gleich) und warum?

(eingesandt von Ilona Goldschmidt)

Aufgabe 6: Hölzchen

Gegeben ist folgende Streichholz (Un-)Gleichung;

 __     __         __   __
|__     __|   __  |__   __|  -   |
|__|   |__        |__|  __|  -   |

Durch Verschieben (Umlegen) eines einzigen Streichholzes erhält man aber eine korrekte Gleichung.

Was ist zu tun?

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 7: Turmspaziergang

Tom und Klaus, zwei leidenschaftliche Schachspieler, suchen das Schachspiel, finden aber nur das Schachbrett und einen Turm. "Damit können wir nichts anfangen", sagt Klaus. Doch Tom fällt etwas ein; kürzlich hat ihm sein Mathelehrer eine Knobelaufgabe gestellt, die er noch lösen wollte:

Ein Zug des Turmes auf dem Schachbrett verläuft - wie beim Schach - entweder in einer waagerechten oder in einer senkrechten Reihe, jeweils beliebig weit. Eine Zugfolge besteht aus einer Reihe von aufeinander folgenden Zügen (Endfeld eines Zuges ist Startfeld des folgenden Zuges). Alle bei einer Zugfolge überschrittenen Felder (einschließlich der Start- und Endfelder der Züge) gelten als berührt.

Aufgabe: Der Turm soll in der linken oberen Ecke des Schachbrettes starten und durch eine Zugfolge die rechte untere Ecke des Schachbrettes erreichen.

"Das ist doch kein Problem, das mache ich mit zwei Zügen", sagt Klaus, doch Tom ist noch nicht fertig.

Tom erklärt, dass die Aufgabe darin besteht, eine Zugfolge (Start links oben, Ende rechts unten) mit möglichst wenigen Zügen zu finden, bei der jedes Feld des (8x8 Felder großen) Schachbrettes genau einmal berührt wird.

Also, wie viele Züge sind mindestens notwendig, um die gestellten Bedingungen zu erfüllen?

Klaus und Tom machen sich ans Knobeln. Jeder möchte das Schachbrett um zu probieren. Nach einer Weile gibt Klaus auf: "Vielleicht geht das ja gar nicht!"

Tom: "Kann sein, ich habe keine Ahnung, aber das muss man doch rauskriegen!" Und Tom kriegt es raus.

Zu welcher Lösung kommt er?

(eingesandt von Hannfried Zuegge)

Aufgabe 8: Zahlenketten (Finde die kleinste unendliche Zahl!)

Eine Autonummer (also eine max. 4-stellige Zahl) wird in ihre einzelnen Ziffern zerlegt und benachbarte Ziffern werden addiert, so dass eine neue Zahl entsteht.

Wir stellten fest, dass die meisten Zahlen am Ende ein einstelliges Ergebnis auswerfen.
z.B. 2863 → 2+8 8+6 6+3 → 10 14 9 → 10149 → 11513 → 2664 → 81210 → 9331 → 1264 → 3810 → 1191 → 21010 → 3111 → 422 → 64 → 10 → 1

Es kann sich aber auch eine endlose periodische Kette ergeben:
z.B.: 996 → 1815 → 996

 9       9       6
   \ + /   \ + /
    18       15
  /  |       |  \
 1   8       1   5
  \+/  \ + /  \+/
   9     9     6
usw.

Oder die Folge steigt ins Unendliche:
z.B.:
8888 → 161616 → 77777 → 14141414 → 5555555 →
101010101010 → 11111111111 → 2222222222 →
444444444 → 88888888
usw.

Aufgabe:

  1. Finde die kleinste periodische Zahl!
  2. Finde die kleinste unendliche Zahl!

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 9: In Serie

  1. Zur Einführung:

    Vervollständige die (unendliche) Zahlenfolge sinnvoll um die nächsten 2 Glieder:

    2, 5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, 100, ...

  2. Zum Knobeln:

    Bei archäologischen Ausgrabungen im Pelepones wurden vier Tafeln gefunden, die mit seltsamen schwarzen Vierecken verziert waren:

    derCode

    Handelt es sich etwa um ein lochkartenähnliches Kryptogramm außerirdischer Intelligenz oder was wollte der Künstler uns damit sagen?

    Wo hat sich ein Fehler eingeschlichen?

(eingesandt von Herbert Nell)

Aufgabe 10: Sudoku

In jede Zeile, Spalte oder 3x3-Feld sind die Ziffern von 1 bis 9 so einzusetzen, dass jede Ziffer genau ein mal vorkommt.

Gute Rätsel zeichnen sich dadurch aus, dass sich alle fehlenden Zahlen logisch erschließen (also, es ist kein Probieren notwendig).

8 2 6
4 3
7
8 7 4 3 1
6 5 8
9 4 3 1 6
9
4 1
5 2 7

Fülle die fehlenden Kästchen aus!

(eingesandt von Ingrid Kluge)

Lösung

Aufgabe 1: Durst

Der Mann verbraucht täglich 1/9 des Wasservorrats, seine Frau 1/12 und sein Kind 1/18, was zusammen 1/4 beträgt. Der Trinkwasservorrat reicht also für 4 Tage.

Aufgabe 2: Schach

Jeder Spieler hat gegen 7 Gegner gespielt und dabei höchstens 7 Punkte erlangt. Der Zweitplatzierte hat höchstens 6 Punkte erzielt, denn hätte er mindestens 6,5 Punkte, dann hätte der Erste mit davon verschiedener Punktzahl 7 Punkte und beide zusammen nur einen halben Punkt verloren, obwohl sie gegeneinander gespielt haben. Weil allein schon für die 6 Spiele der letzten vier untereinander insgesamt 6 Punkte vergeben wurden, hat niemand von diesen Spielern gegen einen der ersten vier Spieler unentschieden gespielt oder gewonnen. Insbesondere hat der Drittplatzierte den Sechstplatzierten besiegt.

Aufgabe 3: Zahlenmauer

Durch Lösen eines kleinen linearen Gleichungssystems erhält man die fehlenden Zahlen:

    | 43 | 25 | 15 | 8 |
       | 18 | 10 | 7 |
         | 8 | 3 |
           | 5 |

Aufgabe 4: Fahrplan

In durchschnittlich 9 von 10 Fällen trifft der Mann an der Haltestelle ein, wenn zuletzt eine Bahn nach Süden gefahren ist und die nächste nach Norden fährt. In den anderen Fällen kommt als nächstes eine Bahn, die in Richtung Süden fährt. Vorausgesetzt, dass die Bahnen pünktlich fahren, ist dies dann der Fall, wenn nach dem Fahrplan die Bahn nach Süden immer genau eine Minute später fährt als die nach Norden.

Aufgabe 5: Wasserspiegel

So lange der Goldklumpen im Boot ist, verdrängt das Boot zusätzlich so viel Volumen unterhalb der Wasseroberfläche, wie Wasser mit dem selben Gewicht wie der Goldklumpen einnehmen würde. Liegt das Gold auf dem Seegrund, verdrängt es nur sein eigenes Volumen, das wegen der größeren Dichte als die des Wassers, kleiner ist. Damit sinkt theoretisch der Wasserspiegel, wenn der Klumpen ins Wasser fällt. Praktisch dürfte der unterschiedliche Wasserspiegel wegen der großen und bewegten Wasseroberfläche sowie der Fluktuation des Wassers nicht messbar sein.

Aufgabe 6: Hölzchen

Wären die Linien des Minus- und des Gleichheitszeichens gleich lang und würde man die vertikale Position der Rechenzeichen nicht ganz genau nehmen, könnte man ein Hölzchen vom Gleichheitszeichen über oder unter das Minuszeichen legen und erhielte dabei folgende richtige Gleichung:

62 = 63 − 1

Aufgabe 7: Turmspaziergang

Der Turm berührt während seines ganzen Weges über das Schachbrett immer abwechselnd weiße und schwarze Felder. Führt der Weg über das ganze Schachbrett (mit gerader Anzahl von Feldern), unterscheidet sich die Farbe des letzten Feldes von der des ersten Feldes. Weil die Farben der diagonal gegenüber liegenden linken oberen und rechten unteren Eckfelder gleich sind, ist zwischen ihnen ein solcher Turmspaziergang nicht möglich.

Aufgabe 8: Zahlenketten (Finde die kleinste unendliche Zahl!)

  1. Die kleinste periodische Zahl ist 991: 991 → 1810 → 991 ...
  2. Die kleinste unendliche Zahl ist 1496: 1496 → 51315 → 6446 → 10810 → 1891 → 91710 → 10881 → 18169 → 99715 → 181686 → 9971414 → 18168555 → 99714131010 → 181685544111 → 99714131098522 → 18168554419171374 ...

Aufgabe 9: In Serie

  1. Die Differenzen jeweils aufeinanderfolgender Folgenglieder bilden die Folge der ungeraden Primzahlen.

    2, 5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, 100, 129, 160, ...

     3, 5,  7, 11, 13, 17, 19, 23,  29,  31, ...

  2. Stellt man sich die ersten und nächsten jeweils 100 natürlichen Zahlen fortlaufend in Zehnerreihen formatiert vor, dann markieren die schwarzen Stellen die Primzahlen:

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
    21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
    31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
    41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
    51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
    61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
    71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
    81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
    91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
    101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
    111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
    121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
    131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
    141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
    151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
    161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
    171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
    181 182 183 184 185 186 187 188 189 190
    191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
    201 202 203 204 205 206 207 208 209 210
    211 212 213 214 215 216 217 218 219 220
    221 222 223 224 225 226 227 228 229 230
    231 232 233 234 235 236 237 238 239 240
    241 242 243 244 245 246 247 248 249 250
    251 252 253 254 255 256 257 258 259 260
    261 262 263 264 265 266 267 268 269 270
    271 272 273 274 275 276 277 278 279 280
    281 282 283 284 285 286 287 288 289 290
    291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
    301 302 303 304 305 306 307 308 309 310
    311 312 313 314 315 316 317 318 319 320
    321 322 323 324 325 326 327 328 329 330
    331 332 333 334 335 336 337 338 339 340
    341 342 343 344 345 346 347 348 349 350
    351 352 353 354 355 356 357 358 359 360
    361 362 363 364 365 366 367 368 369 370
    371 372 373 374 375 376 377 378 379 380
    381 382 383 384 385 386 387 388 389 390
    391 392 393 394 395 396 397 398 399 400

    Auf den vorgelegten Tafeln sind fälschlicherweise 287 (rechte untere Tafel) und 377 statt 379 (rechte obere Tafel) als prim markiert.

Aufgabe 10: Sudoku

3 8 2 9 4 6 7 5 1
9 1 6 8 7 5 4 2 3
7 4 5 1 3 2 8 9 6
6 2 8 7 9 4 3 1 5
1 3 7 6 5 8 9 4 2
5 9 4 3 2 1 6 8 7
2 5 3 4 8 7 1 6 9
4 7 1 2 6 9 5 3 8
8 6 9 5 1 3 2 7 4